Skillnad mellan versioner av "Förberedelser inför NP Ma4"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '__NOTOC__ IND_VAL: v14 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. IND_VAL: v14 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4458-4461<...')
 
m
 
(207 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
IND_VAL: v14 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10.
 
−
 
−
IND_VAL: v14 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4458-4461</span></b>]].
 
−
 
−
 
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
−
{{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnosprov kap 4]]}}
+
{{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnos Komplexa tal]]}}
−
{{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos]]}}
+
{{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos Kompl. tal]]}}
−
{{Not selected tab|[[Förberedelser för Prov kap 4 Komplexa tal|Nästa lektion&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[Media: Rep_uppg_Komplex_E.pdf|ExtraUppg. Kompl. tal E (med Facit)]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: Rep_uppg_Komplex_C.pdf|ExtraUppg. Kompl. tal C (med Facit)]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: Rep_uppg_Komplex_Aa.pdf|ExtraUppg. Kompl. tal A (med Facit)]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Förberedelser inför NP Matte 4|Provtidtabell Ma4 Old]]}} -->
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 +
|}
 +
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 +
{{Not selected tab|[[4.18 Vietas formler| <<&nbsp;&nbsp;Sista avsnitt Komplexa tal]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Media: Formelsamling Matte 4.pdf|Formelsamling Matte 4]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[Media: NP_1_Ma4.pdf|Gammalt NP 1]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: NP 1 Ma4 Fullst Losg_9jpg.pdf|NP 1 Fullst. lösningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: NP_2_Ma4.pdf|Gammalt NP 2]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: NP 2 Ma4 BedAnv.pdf|NP 2 Bedömn.Anvisn.]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Förberedelser inför NP Matte 4|Provtidtabell Old]]}} -->
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
+
= [[Matte_4_Planering|<b><span style="color:#931136">Provtidtabell NP Ma4</span></b>]] =
 +
<div class="border-divblue">
 
<big>
 
<big>
−
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
 
−
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
 
−
</big>
 
  
 
<table>
 
<table>
−
<tr> <td><div class="ovnA">
+
<tr> <td><b><span style="color:#931136">Vecka 17</span></b></td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|<span style="color:blue">Diagnosprov kap 4 Komplexa tal.]]</span></b></td> </tr>
−
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
+
−
<table>
+
−
<tr>
+
−
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
+
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
+
−
          \end{align}} </math></td>
+
−
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
+
−
<td><math> \begin{align} 2  +  3 & = 5 = -p  \\
+
−
                        2 \cdot 3 & = 6  = q
+
−
          \end{align} </math></td>
+
−
<td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
+
−
<td><math> \begin{align} p & = -5  \\
+
−
                        q & = 6
+
−
          \end{align} </math></td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>  
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|<span style="color:blue">Facit Diagnos kap 4 Komplexa tal.]]</span></b></td> </tr>
  
−
::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td> </td> </tr>
−
</div></td>
+
−
<td><math> \qquad </math></td>
+
−
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
+
  
−
:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
+
<tr> <td><b><span style="color:#931136">Vecka 18</span></b></td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>Extra uppgifter Komplexa tal på [[Media: Rep_uppg_Komplex_E.pdf|<span style="color:blue">E-</span>]], [[Media: Rep_uppg_Komplex_C.pdf|<span style="color:blue">C-</span>]] & [[Media: Rep_uppg_Komplex_Aa.pdf|<span style="color:blue">A-nivå</span>]] med facit.</b></td> </tr>
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
+
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
+
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
+
−
                                    x_1    & = & 3                          \\
+
−
                                    x_2    & = & 2                         
+
−
            \end{array}</math></big></td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
  
−
<big>  
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>Repetition kap 1 Trigonometri: Lektioner [[Repetition_Trigonometri|<span style="color:blue">1.1</span>]]-[[1.15_Tillämpningar_och_problemlösning|<span style="color:blue">1.15</span>]] & [https://sharedfiles.mathonline.se/Diagnosprov%20Ma4.pdf <span style="color:blue">Diagnosprov</span>]/ [https://sharedfiles.mathonline.se/Diagnos_Ma4_Losg_rattelser.pdf <span style="color:blue">Lösningar</span>].</b></td> </tr>
−
Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.
+
  
−
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] såg redan på <math>1500</math>-talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td> </td> </tr>
  
−
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
+
<tr> <td><span style="color:#931136"><b>Vecka 19</b></span></td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>Repetition kap 2 Derivator: Lektioner [[2.1 Derivatan av sin x och cos x|<span style="color:blue">2.1</span>]]-[[2.9 Kurvor och asymptoter|<span style="color:blue">2.9</span>]].</b></td> </tr>
  
−
<div class="border-divblue">
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>Repetition kap 3 Integraler: Lektioner [[3.1 Integraler och primitiva funktioner|<span style="color:blue">3.1</span>]]-[https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=Kapitel_4_Integraler#3.5_Till.C3.A4mpning_av_integraler <span style="color:blue">3.5</span>] & [https://sharedfiles.mathonline.se/Diagnos_2_3_Ma4.pdf <span style="color:blue">Diagnosprov</span>]/ [https://sharedfiles.mathonline.se/Diagnos_2_3_Ma4_Facit.pdf <span style="color:blue">Facit</span>].</b></td> </tr>
−
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
+
  
−
garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td> </td> </tr>
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
+
−
          \end{align}} </math>
+
−
</div>
+
  
 +
<tr> <td><span style="color:#931136"><b>Vecka 20</b></span></td> <td><math> \quad </math></td> <td><b>Två gamla släppta NP<span>:</span><math> \quad </math>[[Media: NP_1_Ma4.pdf|<span style="color:blue">NP1</span>]] / [[Media: NP 1 Ma4 Fullst Losg_9jpg.pdf|<span style="color:blue">Lösningar</span>]] & [[Media: NP_2_Ma4.pdf|<span style="color:blue">NP2</span>]] / [[Media: NP 2 Ma4 BedAnv.pdf|<span style="color:blue">Bedömningsanvisningar.</span></b>]]</td> </tr>
  
−
<div class="exempel">
+
<tr> <td> </td> <td><math> \quad </math></td> <td> </td> </tr>
−
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>
+
  
−
2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
+
<tr> <td><b><span style="color:red">Vecka 21</span></b></td> <td><math> \quad </math></td> <td><div class="smallBoxVariant"><span style="color:red"><b>Nationellt prov i Matte 4</b></span></div><math> \quad </math><b><span style="color:red">Tor 22/5, kl 8.30,</span> <span style="color:#931136">Kansas/Utah/Hawaii &nbsp; OBS!</span></b></td> </tr>
−
 
+
</table>
−
Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
<math> \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p</math>
+
−
 
+
−
 
+
−
Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
+
−
 
+
−
Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
<math> \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q </math>
+
−
 
+
−
 
+
−
Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt konjugatregeln <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
+
−
 
+
−
Detta bevisar Vietas andra formel.
+
−
 
+
−
----
+
−
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och kan formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
+
−
----
+
−
</div>
+
 
</big>
 
</big>
−
 
−
 
−
= <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> =
 
−
<big>
 
−
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
 
−
</big>
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
 
−
<!-- <div class="exempel">¨-->
 
−
<div class="ovnE">
 
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-7) = 7  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
 
−
 
−
Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
 
−
 
−
Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
 
−
 
−
:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
 
−
 
−
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
 
−
 
−
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
 
 
</div>
 
</div>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 
−
<!-- <div class="exempel">¨-->
 
−
<div class="ovnC">
 
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-8) = 8  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
 
−
 
−
Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
 
−
 
−
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
 
−
</div>
 
−
 
−
 
−
<div class="exempel">
 
−
== <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
 
−
<big>
 
−
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter
 
−
 
−
att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.
 
−
 
−
Ett exempel är:
 
−
 
−
:::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
 
−
 
−
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-13) = 13  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 2
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer.
 
−
 
−
Med p-q formeln får man<span>:</span>
 
−
 
−
:::<math>\begin{align}            x_1    & = 12,84428877                \\
 
−
                                  x_2    & =  0,15571123                \\
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} 12,84428877  +    0,15571123 & = 13  \\
 
−
                        12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2
 
−
          \end{align}</math>
 
−
</big></div>
 
  
  
Rad 200: Rad 65:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 20 maj 2025 kl. 08.30

       Diagnos Komplexa tal          Facit Diagnos Kompl. tal          ExtraUppg. Kompl. tal E (med Facit)          ExtraUppg. Kompl. tal C (med Facit)          ExtraUppg. Kompl. tal A (med Facit)      
        <<  Sista avsnitt Komplexa tal          Gammalt NP 1          NP 1 Fullst. lösningar          Gammalt NP 2          NP 2 Bedömn.Anvisn.      


Provtidtabell NP Ma4

Vecka 17 \( \quad \) Diagnosprov kap 4 Komplexa tal.
\( \quad \) Facit Diagnos kap 4 Komplexa tal.
\( \quad \)
Vecka 18 \( \quad \) Extra uppgifter Komplexa tal på E-, C- & A-nivå med facit.
\( \quad \) Repetition kap 1 Trigonometri: Lektioner 1.1-1.15 & Diagnosprov/ Lösningar.
\( \quad \)
Vecka 19 \( \quad \) Repetition kap 2 Derivator: Lektioner 2.1-2.9.
\( \quad \) Repetition kap 3 Integraler: Lektioner 3.1-3.5 & Diagnosprov/ Facit.
\( \quad \)
Vecka 20 \( \quad \) Två gamla släppta NP:\( \quad \)NP1 / Lösningar & NP2 / Bedömningsanvisningar.
\( \quad \)
Vecka 21 \( \quad \)
Nationellt prov i Matte 4
\( \quad \)Tor 22/5, kl 8.30, Kansas/Utah/Hawaii   OBS!






Copyright © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=Förberedelser_inför_NP_Ma4&oldid=11567"