2.7 Grafer och derivator
IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2
| << Förra avsnitt 3.1 | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer >> |
Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning
Växande och avtagande
Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.
Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:
 |
 |
Regler om en funktions växande och avtagande
Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.
| Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är växande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)
Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)
|
Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i nästa avsnitt.
I exemplen 1-3 visas hur man beräknar för vilka \( \, x \, \) en funktion är växande resp. avtagande.
Exempel 1 Vinternatt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:
|
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Lokala maxima och minima
| Lektion 23 Lokala maxima och minima I
Lektion 24 Lokala maxima och minima II Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima behandlas senare. Se även Begreppsförklaringar. |
\( \quad \) |  |
För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och
vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.
| Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
|
|
Regler om max/min med teckenstudie
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.
Begreppsförklaringar
 |
Lokala maxima och minima är punkter (•) på kurvan som har största resp. minsta \( \, y\)-
värden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Båda tillsammans heter extrema. Man skiljer mellan extremas \( \, x\)- och \( \, y\)-koordinater: Extremas \( \, x\,\)-koordinater kallas för extrempunkter, på bilden: \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Extremas \( \, {\color{Red} y}\,\)-koordinater kallas för extremvärden, på bilden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \). Här pratar vi om funktionens extrempunkter och extremvärden. På funktionens graf är: minimipunktens koordinater: \( \, (2, 10) \, \) och maximipunktens koordinater: \( \, (4, 22) \, \). Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ. |
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd.
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
OBS! Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i nästa avsnitt.
</big>
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
