4.5 Absolutbelopp

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt  >>

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \] \[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \] \[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\( \quad \)

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \] \[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \] \[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\( \quad \)

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \] \[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}} \] \[ | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}} \]

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom: \[ | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases} \] Grafen till   funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här:

\( \qquad \)

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).

Användningar av absolutbelopp

Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,

massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, \( \, \ldots \; \).

Vi tittar närmare på avstånd:

Avstånd mellan två tal

Avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) är differensen: \( \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\; \) Ok!

Avståndet mellan \( -2 \) och \( -5 \) är differensen: \( -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; \) Fel!

Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:

\[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

\[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Generellt gäller:

Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).

Talens ordning är irrelevant: \( \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Specialfall \( \; a \, = \, 0 \, \):

Ett tals absolutbelopp   =   Talets avstånd från \( \, 0 \, \)

Om vi i uttrycket för avstånd: \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \)

för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}} \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}} \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, 5\):s och talet \( \, (-5)\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):

Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.

Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och

som avståndet \( \, | \, a - b \, | \, \) mellan \( \, a \, \) och \( \, b \, \) kan tas över till komplexa tal:

Mer om Absolutbelopp

Absolutbelopp för komplexa tal

Allmän definition:

Absolutbelopp av ett komplext tal \( z \, = \, a + b\,i \;\; \) är \( \;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \; \)

Övningar 4133-4141

Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.