|
|
| Rad 25: |
Rad 25: |
| | </div> | | </div> |
| | | | |
| − | OBS! Ska behandlas i 4.18
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
| |
| − | Ställ upp en andragradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| |
| − | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr> <td><div class="ovnA">
| |
| − | <b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><math> \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = q
| |
| − | \end{align}} </math></td>
| |
| − | <td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
| |
| − | <td><math> \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\
| |
| − | 2 \cdot 3 & = 6 = q
| |
| − | \end{align} </math></td>
| |
| − | <td><math> \quad {\rm dvs:} \quad </math></td>
| |
| − | <td><math> \begin{align} p & = -5 \\
| |
| − | q & = 6
| |
| − | \end{align} </math></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | Därmed blir andragradsekvationen<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
| |
| − | </div></td>
| |
| − | <td><math> \qquad </math></td>
| |
| − | <td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\
| |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\
| |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\
| |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\
| |
| − | x_1 & = & 3 \\
| |
| − | x_2 & = & 2
| |
| − | \end{array}</math></big></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | == <small><b><span style="color:#931136">pq-formeln:</span></b></small> ==
| |
| − | ::Andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | <math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
| |
| − |
| |
| − | == <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">
| |
| − | Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
| |
| − |
| |
| − | garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = q
| |
| − | \end{align}} </math>
| |
| − | </div>
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Lösning av andragradsekvationer med Vieta <math> - </math> utan pq-formeln</span></b> ==
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = 10
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
| |
| − |
| |
| − | Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
| |
| − |
| |
| − | Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | <big>
| |
| − | Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = 16
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
| |
| − |
| |
| − | Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
| |
| − | </big></div>
| |
| − |
| |
| − | OBS! Ska behandlas i 4.18
| |
| | | | |
| | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" |
