Skillnad mellan versioner av "4.3 Konjugatet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(20 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 2: Rad 2:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[4.1_Olika_typer_av_tal#Varf.C3.B6r_r.C3.A4cker_de_reella_talen_inte_till.3F|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1_Olika_typer_av_tal#4.2_.C2.A0_Algebrans_fundamentalsats|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
Rad 24: Rad 24:
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
−
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
 
−
<big>
 
−
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
 
−
Ställ upp en andragradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
 
−
</big>
 
−
 
−
<table>
 
−
<tr> <td><div class="ovnA">
 
−
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 
−
          \end{align}} </math></td>
 
−
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
 
−
<td><math> \begin{align} 2  +  3 & = 5 = -p  \\
 
−
                        2 \cdot 3 & = 6  = q
 
−
          \end{align} </math></td>
 
−
<td><math> \quad {\rm dvs:} \quad </math></td>
 
−
<td><math> \begin{align} p & = -5  \\
 
−
                        q & = 6
 
−
          \end{align} </math></td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
 
−
Därmed blir andragradsekvationen<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
 
−
</div></td>
 
−
<td><math> \qquad </math></td>
 
−
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
 
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
 
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
 
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
 
−
                                    x_1    & = & 3                          \\
 
−
                                    x_2    & = & 2                         
 
−
            \end{array}</math></big></td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
 
−
<big>
 
−
== <small><b><span style="color:#931136">pq-formeln:</span></b></small> ==
 
−
::Andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
 
−
 
−
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
 
−
 
−
<div class="border-divblue">
 
−
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
 
−
 
−
garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 
−
          \end{align}} </math>
 
−
</div>
 
−
</big>
 
−
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Lösning av andragradsekvationer med Vieta <math> - </math> utan pq-formeln</span></b> ==
 
−
 
−
<big>
 
−
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
 
−
</big>
 
−
 
−
 
−
<div class="exempel">
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
 
−
 
−
<big>
 
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
 
−
</big>
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
 
−
<big>
 
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-7) = 7  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
 
−
 
−
Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
 
−
 
−
Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
 
−
 
−
:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
 
−
 
−
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
 
−
 
−
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
 
−
</big></div>
 
−
 
−
 
−
<div class="exempel">
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 
−
<big>
 
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
 
−
</big>
 
−
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 
−
 
−
<big>
 
−
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-8) = 8  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
 
−
        \end{align}</math>
 
−
 
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
 
−
 
−
Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
 
−
 
−
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
 
−
</big></div>
 
  
  
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
−
{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet#Konjugatets definition| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
Rad 170: Rad 39:
  
 
= <b><span style="color:#931136">4.4 &nbsp; Att räkna med komplexa tal</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">4.4 &nbsp; Att räkna med komplexa tal</span></b> =
 +
[[4.1_Olika_typer_av_tal#Repetition:_.C2.A0_Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]
 
<div class="ovnA">
 
<div class="ovnA">
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_3.jpg]]</div>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_3.jpg]]</div>
Rad 176: Rad 46:
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_4.jpg]]</div>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_4.jpg]]</div>
 
</div>
 
</div>
 +
 +
 +
[[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4116-4125</span></b>]]
 +
 +
 +
[[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4126-4134 & Historik 1-3</span></b>]]
  
  
Rad 188: Rad 64:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 24 oktober 2025 kl. 07.04

       <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Konjugatets definition

4 2 Komplexa tal 1.jpg


Konjugatets egenskaper

4 2 Komplexa tal 2.jpg


        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


4.4   Att räkna med komplexa tal

Olika typer av tal

4 2 Komplexa tal 3.jpg


4 2 Komplexa tal 4.jpg


Övningar 4116-4125


Övningar 4126-4134 & Historik 1-3







Copyright © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=4.3_Konjugatet&oldid=11983"