Skillnad mellan versioner av "2.7 Grafer och derivator"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(40 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2
 
−
 
−
 
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[3.3 Derivatan av logaritmen|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt 3.1]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av ln x|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
−
{{Selected tab|[[3.4 Grafer och derivator|Genomgång]]}}
+
{{Selected tab|[[2.7 Grafer och derivator|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Facit.pdf|Facit]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Facit.pdf|Facit]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Differentialekvationer|Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.8 Differentialekvationer|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 22: Rad 19:
 
= <b><span style="color:#931136">Växande och avtagande</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">Växande och avtagande</span></b> =
 
<big>
 
<big>
−
Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
+
Det handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
  
−
I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen <b><span style="color:red">växer</span></b> eller <b><span style="color:red">avtar</span></b>.
+
Här används derivatan för att få reda på om funktionen <b><span style="color:red">växer</span></b> eller <b><span style="color:red">avtar</span></b>.
  
 
==== <b><span style="color:#931136">Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:</span></b> ====
Rad 70: Rad 67:
 
</div>
 
</div>
  
−
Om derivatan <math> \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, </math> är funktionen varken växande eller avtagande för <math> \, x = a \, </math>. Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i [[3.2 Lokala maxima och minima|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]].
+
Om derivatan <math> \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, </math> är funktionen varken växande eller avtagande för <math> \, x = a </math>, se [[2.7 Grafer och derivator#Lokala maxima och minima|<b><span style="color:blue">Lokala maxima och minima</span></b>]].
−
 
+
−
I exemplen 1-3 visas hur man beräknar <b><span style="color:red">för vilka <math> \, x \, </math></span></b> en funktion är växande resp. avtagande.
+
  
 
<div class="ovnE"><small>
 
<div class="ovnE"><small>
Rad 98: Rad 93:
  
 
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
 
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
 +
 +
'''Lösning:'''
 +
 +
a) &nbsp; För att kunna använda reglerna ovan ställer vi upp derivatan:
 +
 +
::<math> f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 </math>
 +
 +
::<math> f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 </math>
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; För att bestämma derivatans tecken måste vi beräkna derivatans värden för de efterfrågade tiderna:
 +
 +
:<b><math> f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 \; \Rightarrow \; </math></b> Temperaturen är <u>avtagande vid kl 2</u>.
 +
 +
:<b><math> f'(5) \, = \, 0,48 \cdot 5 - 2,4 \qquad\qquad\! = \, 0 \; \Rightarrow \; </math></b> Temperaturen är <u>varken växande eller avtagande vid kl 5</u>.
 +
 +
:<b><math> f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = \;\;\, 0,96 > 0 \; \Rightarrow \; </math></b> Temperaturen är <u>växande vid kl 7</u>.
 +
 +
b)
 +
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; [[Image: Ex 1 Vinternatt Tangentera.jpg]]
 
</small></div>
 
</small></div>
 
</big>
 
</big>
Rad 106: Rad 121:
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
<td>[[Media: Lektion 23 Lokala max & min I Rutaa.pdf|<small><b><span style="color:blue">Lektion 23 Lokala maxima och minima I</span></b></small>]]
+
<td><big>
  
−
[[Media: Lektion 24 Lokala max & min II Rutaa.pdf|<small><b><span style="color:blue">Lektion 24 Lokala maxima och minima II</span></b></small>]]
+
<i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter som har största  
−
 
+
−
<i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter som har största
+
  
 
resp. minsta funktionsvärden i sin <b><span style="color:red">närmaste omgivning</span></b>.  
 
resp. minsta funktionsvärden i sin <b><span style="color:red">närmaste omgivning</span></b>.  
Rad 118: Rad 131:
 
<b><span style="color:red">lokala</span></b> maxima och minima.
 
<b><span style="color:red">lokala</span></b> maxima och minima.
  
−
[[3.4_Kurvkonstruktioner#Globala_maxima_och_minima_.5C.28-.5C.29_en_funktions_st.C3.B6rsta_och_minsta_v.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Globala</span></b>]] maxima och minima behandlas senare.
+
Globala maxima och minima är punkter som har största
  
−
Se även [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Begreppsf.C3.B6rklaringar|<b><span style="color:blue">Begreppsförklaringar</span></b>]].
+
resp. minsta y-värden i f(x):s hela definitionsområde.
−
</td>
+
 
 +
Se även [[2.7_Grafer_och_derivator#Begreppsf.C3.B6rklaringar|<b><span style="color:blue">Begreppsförklaringar</span></b>]].
 +
</big></td>
 
<td><math> \quad </math></td>
 
<td><math> \quad </math></td>
 
<td>[[Image: Maxima_minima_110.jpg]]</td>
 
<td>[[Image: Maxima_minima_110.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
 
För att avgöra vilka <b><span style="color:red">nollställen av derivatan</span></b> som är funktionens maxima och
 
För att avgöra vilka <b><span style="color:red">nollställen av derivatan</span></b> som är funktionens maxima och
Rad 131: Rad 147:
 
vilka som är minima <math> \ldots \, </math>, undersöker man <b><span style="color:red">derivatans teckenbyte</span></b> i nollställena.
 
vilka som är minima <math> \ldots \, </math>, undersöker man <b><span style="color:red">derivatans teckenbyte</span></b> i nollställena.
 
</div>
 
</div>
−
<table>
+
 
 +
<big><table>
 
<tr> <td>Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
 
<tr> <td>Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
  
Rad 139: Rad 156:
 
:* &nbsp;&nbsp; <b><span style="color:#931136">Teckenstudie</span></b> som vi börjar med,
 
:* &nbsp;&nbsp; <b><span style="color:#931136">Teckenstudie</span></b> som vi börjar med,
  
−
:* &nbsp;&nbsp; [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Andraderivata|<b><span style="color:#931136">Andraderivatan</span></b>]] som tas upp längre fram.
+
:* &nbsp;&nbsp; [[2.7 Grafer och derivator#Andraderivata|<b><span style="color:#931136">Andraderivatan</span></b>]] som tas upp längre fram.
 
</td>
 
</td>
 
</tr>
 
</tr>
−
</table>
+
</table></big>
−
 
+
 
==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med teckenstudie</span></b> ====
 
==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med teckenstudie</span></b> ====
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, + \, </math> till <math> \, - \, </math> i <math> \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
+
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, + \, </math> till <math> \, - \, </math> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
 
<br><br>
 
<br><br>
−
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, - \, </math> till <math> \, + \, </math> i <math> \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
+
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, - \, </math> till <math> \, + \, </math> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
 +
----
 +
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad  f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter <b><span style="color:blue">Matte 3c, 3.3. Terasspunkter</span></b>].
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
En alternativ metod för att skilja mellan funktionens maxima och minima är andraderivatan.
 +
 
 +
Till skillnad från teckenstudie som klarar sig med första derivatan, måste vi derivera här två gånger.
 +
 
 +
En fördel med metoden med andraderivatan är dock att den kräver mindre räkning.
 +
 
 +
==== <b><span style="color:#931136">Andraderivata</span></b> ====
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
Med andraderivata menas <b><span style="color:red">derivatans derivata</span></b> som betecknas med <math> \, f\,''(x) \, </math> och läses <math> \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, </math>.
 +
 
 +
Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
Det är <b><span style="color:red">derivatans nollställen</span></b> och <b><span style="color:red">andraderivatans tecken</span></b> i derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:
 +
 
 +
==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med andraderivatan</span></b> ====
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; </math> och <math> \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> \; x = a \; </math>.
 +
 
 +
<math> f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; </math> och <math> \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \; x = a \;  </math>.
 
----
 
----
−
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad  f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]].
+
Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt&nbsp; [[2.7_Grafer_och_derivator#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]]&nbsp; eller <b><span style="color:red"><math> \, f\,'''(a) \, </math></span></b> avgöra saken.<br>
 
</div>
 
</div>
−
+++
 
  
  
Rad 182: Rad 225:
 
</table>
 
</table>
  
−
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition_f.C3.B6r_kontinuerliga_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerlig</span></b>]] i alla punkter av sin definitionsmängd.
+
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd.
  
 
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
 
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad.
Rad 188: Rad 231:
  
  
−
OBS!&nbsp;&nbsp;&nbsp; Det finns punkter där derivatan är <math> \, 0 </math>, utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i [[3.3 Terasspunkter|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]].
+
OBS!&nbsp;&nbsp;&nbsp; Det finns punkter där derivatan är <math> \, 0 </math>, utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i [https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter <b><span style="color:blue">Matte 3c, 3.3. Terasspunkter</span></b>].
 
</big>
 
</big>
  
Rad 205: Rad 248:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2024 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 27 november 2024 kl. 14.22

       <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning

3 4 Derivator grafer.jpg


Växande och avtagande

Det handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.

Här används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.

Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:

Neg Pos Lutning 356 252.jpg
      Vaxande Avtagande.jpg


Regler om en funktions växande och avtagande

Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är   växande   för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)

Kortfattat:


\( \quad \) Derivatan positiv i en punkt \( \quad\; \iff \quad \) Funktionen växer där.

Derivatan negativ i en punkt \( \quad \iff \quad \) Funktionen avtar där.

Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \), se Lokala maxima och minima.

Exempel 1 Vinternatt

Ex 1 Temp Vinternatt.jpg        Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

       där     \( y \;\, = \)   temperaturen i grader Celsius och

                 \( x \;\, = \)   tiden i timmar efter midnatt

       Funktionen \(\, f(x)\):s   definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

       a)   Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:

kl 2                 kl 5                 kl 7
       b)   Rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \). Tolka graferna.

Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.

Lösning:

a)   För att kunna använda reglerna ovan ställer vi upp derivatan:

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]
\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

     För att bestämma derivatans tecken måste vi beräkna derivatans värden för de efterfrågade tiderna:

\( f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är avtagande vid kl 2.
\( f'(5) \, = \, 0,48 \cdot 5 - 2,4 \qquad\qquad\! = \, 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är varken växande eller avtagande vid kl 5.
\( f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = \;\;\, 0,96 > 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är växande vid kl 7.

b)

      Ex 1 Vinternatt Tangentera.jpg


Lokala maxima och minima

Lokala maxima och minima är punkter som har största

resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning.

Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid

lokala maxima och minima.

Globala maxima och minima är punkter som har största

resp. minsta y-värden i f(x):s hela definitionsområde.

Se även Begreppsförklaringar.

\( \quad \) Maxima minima 110.jpg

För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och

vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.

Det finns två metoder för att göra denna undersökning:


  •    Teckenstudie som vi börjar med,

Regler om max/min med teckenstudie

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se Matte 3c, 3.3. Terasspunkter.


En alternativ metod för att skilja mellan funktionens maxima och minima är andraderivatan.

Till skillnad från teckenstudie som klarar sig med första derivatan, måste vi derivera här två gånger.

En fördel med metoden med andraderivatan är dock att den kräver mindre räkning.

Andraderivata

Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( \, f\,''(x) \, \) och läses \( \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, \).

Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.


Det är derivatans nollställen och andraderivatans tecken i derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:

Regler om max/min med andraderivatan

\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \).

\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \).

Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt  teckenstudie  eller \( \, f\,'''(a) \, \) avgöra saken.


Begreppsförklaringar

  Lokala maxima minima.jpg     Lokala maxima och minima är punkter (•) på kurvan som har största resp. minsta \( \, y\)-

    värden i sin närmaste omgivning.

    Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima.

    Båda tillsammans heter extrema. Man skiljer mellan extremas \( \, x\)- och \( \, y\)-koordinater:

Extremas \( \, x\,\)-koordinater kallas för extrempunkter, på bilden: \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Extremas \( \, {\color{Red} y}\,\)-koordinater kallas för extremvärden, på bilden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \).

    Här pratar vi om funktionens extrempunkter och extremvärden. På funktionens graf är:

    minimipunktens koordinater: \( \, (2, 10) \, \) och maximipunktens koordinater: \( \, (4, 22) \, \).

    Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ.

I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd.

Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.


OBS!    Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i Matte 3c, 3.3. Terasspunkter.








Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=2.7_Grafer_och_derivator&oldid=11030"