4.5 Absolutbelopp

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt  >>

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken $\; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \;$ kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

$$| \, - 7 \, | \, = \, 7$$ $$| \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5$$ $$\left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5}$$

$\quad$

$$| \; 23 \; | \, = \, 23$$ $$| \, 7,25 \, | \, = \, 7,25$$ $$\left| \, 0 \, \right| \, = \, 0$$

$\quad$

$$\left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3}$$ $$| \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$$ $$| \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$$

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet $\; | \, x \, | \;$ av ett tal $x\,$ definieras genom: $$| \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases}$$ Grafen till   funktionen $\; y = | \, x \, | \;$ ser ut så här:

$\qquad$

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla $x \,$.

Användningar av absolutbelopp

Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,

massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, $\, \ldots \;$.

Vi tittar närmare på avstånd:

Avstånd mellan två tal

Avståndet mellan $\, 2 \,$ och $\, 5 \,$ är differensen: $\; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\;$ Ok!

Avståndet mellan $-2$ och $-5$ är differensen: $-5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\;$ Fel!

Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:

$${\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$$

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

$${ \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$$

Generellt gäller:

Absolutbeloppet $\; | \, a - b \, | \;$ är avståndet mellan talen $\, a \,$ och $\, b \,$.

Talens ordning är irrelevant: $\; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, |$

Specialfall $\; a \, = \, 0 \,$:

Ett tals absolutbelopp   =   Talets avstånd från $\, 0 \,$

Om vi i uttrycket för avstånd: $\, | \, a - b \, | \,$ sätter in $a = 0 \,$ och $b = -5 \,$

för att beräkna avståndet mellan $0 \,$ och $-5 \,$ får vi:

$$| \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}}$$

Och tar vi $\, | \, b - a \, | \,$ blir det samma resultat:

$$| -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}}$$

$5 \,$ är alltså talet $\, 5$:s och talet $\, (-5)$:s avstånd från $0 \,$.

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet $| \, i \, | = 1$ ovan och motivera!):

Absolutbeloppet $\; | \, a \, | \;$ är talet $a$:s avstånd från 0.

Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och

som avståndet $\, | \, a - b \, | \,$ mellan $\, a \,$ och $\, b \,$ kan tas över till komplexa tal:

Mer om Absolutbelopp

Absolutbelopp för komplexa tal

Allmän definition:

Absolutbelopp av ett komplext tal $z \, = \, a + b\,i \;\;$ är $\;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \;$

Övningar 4133-4141

Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.