4.5 Absolutbelopp

IND_VAL: v6 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. Övningar 4135-4141.

IND_VAL: v6 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. Övningar 4202-4211.

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt  >>

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.    

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \] \[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \] \[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\( \quad \)

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \] \[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \] \[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\( \quad \)

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \] \[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \] \[ | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\; \text{Varför?}\]

Användning av absolutbelopp

Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. avstånd,

längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, \( \, \ldots \; \).

Vi tittar närmare på avstånd:

Exempel 2    Avstånd mellan två tal

Vad är avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \)?    Svar: \( \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \)

Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak blir svaret: \( \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \)

Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

\[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

\[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Generellt gäller:

Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är \( \, 0 \, \):

Ett tals absolutbelopp   =   Talets avstånd från \( \, 0 \, \)

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \)

för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, 5\):s och talet \( \, (-5)\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):

Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.

Absolutbelopp för komplexa tal

Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.