4.3 Konjugatet

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt  >>

Konjugatets definition

Konjugatets egenskaper

Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.

Uppgift:

Ställ upp en andragradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av andragradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller

Vietas formler: \( \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \) \( \quad {\rm Dvs:} \quad \) \( \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align} \) \( \quad {\rm dvs:} \quad \) \( \begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align} \) Därmed blir andragradsekvationen: \[ \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 \]

\( \qquad \)

Kontroll och jämförelse med p-q-formeln: \[\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}\]

pq-formeln:

Andragradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) kan lösas med pq-formeln:

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-

garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)

Lösning av andragradsekvationer med Vieta \( - \) utan pq-formeln

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.

Exempel 1:

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).

Kontrollen bekräftar resultatet:

\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]

\[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:

\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.

Exempel 2

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)

Lösning:

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]

Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.

4.4   Att räkna med komplexa tal

Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.