Versionen från 12 februari 2022 kl. 12.40

IND_VAL: v6 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. Övningar 4135-4141.

IND_VAL: v6 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. Övningar 4202-4211.

Genomgång

Övningar

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \]

\[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \]

\[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\( \quad \)

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \]

\[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \]

\[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\( \quad \)

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \]

\[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \]

\[ | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\; \text{Varför?}\]

Generellt gäller:

Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är \( \, 0 \, \):

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \)

för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, 5\):s och talet \( \, (-5)\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):

Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.

@@ Rad 46: / Rad 46: @@
 <td><math> \quad </math></td>
 <td>
-::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math>
 ::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
+::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math>
 ::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\; \text{Varför?}</math>