Skillnad mellan versioner av "2.7 Grafer och derivator"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
(Skapade sidan med '__NOTOC__ IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="...')
 
m
Rad 99: Rad 99:
 
</small></div>
 
</small></div>
  
 +
 +
= <b><span style="color:#931136">Lokala maxima och minima</span></b> =
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td>[[Media: Lektion 23 Lokala max & min I Rutaa.pdf|<small><b><span style="color:blue">Lektion 23 Lokala maxima och minima I</span></b></small>]]
 +
 +
[[Media: Lektion 24 Lokala max & min II Rutaa.pdf|<small><b><span style="color:blue">Lektion 24 Lokala maxima och minima II</span></b></small>]]
 +
 +
<i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter som har största
 +
 +
resp. minsta funktionsvärden i sin <b><span style="color:red">närmaste omgivning</span></b>.
 +
 +
Med <i>maxima</i> och <i>minima</i> menas i detta kapitel alltid
 +
 +
<b><span style="color:red">lokala</span></b> maxima och minima.
 +
 +
[[3.4_Kurvkonstruktioner#Globala_maxima_och_minima_.5C.28-.5C.29_en_funktions_st.C3.B6rsta_och_minsta_v.C3.A4rden|<b><span style="color:blue">Globala</span></b>]] maxima och minima behandlas senare.
 +
 +
Se även [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Begreppsf.C3.B6rklaringar|<b><span style="color:blue">Begreppsförklaringar</span></b>]].
 +
</td>
 +
<td><math> \quad </math></td>
 +
<td>[[Image: Maxima_minima_110.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<div class="ovnE">
 +
För att avgöra vilka <b><span style="color:red">nollställen av derivatan</span></b> som är funktionens maxima och
 +
 +
vilka som är minima <math> \ldots \, </math>, undersöker man <b><span style="color:red">derivatans teckenbyte</span></b> i nollställena.
 +
</div>
 +
<table>
 +
<tr> <td>Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
 +
 +
 +
</td>
 +
<td>
 +
:* &nbsp;&nbsp; <b><span style="color:#931136">Teckenstudie</span></b> som vi börjar med,
 +
 +
:* &nbsp;&nbsp; [[3.2_Lokala_maxima_och_minima#Andraderivata|<b><span style="color:#931136">Andraderivatan</span></b>]] som tas upp längre fram.
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med teckenstudie</span></b> ====
 +
<div class="border-divblue">
 +
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, + \, </math> till <math> \, - \, </math> i <math> \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad  f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
 +
<br><br>
 +
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, - \, </math> till <math> \, + \, </math> i <math> \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad  f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>.
 +
----
 +
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad  f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]].
 +
</div>
  
  

Versionen från 14 november 2021 kl. 11.35

IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2


       <<  Förra avsnitt 3.1          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer  >>      


Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning


Växande och avtagande

Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.

I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.

Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:

Neg Pos Lutning 356 252.jpg
      Vaxande Avtagande.jpg


Regler om en funktions växande och avtagande

Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är   växande   för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)

Kortfattat:


\( \quad \) Derivatan positiv i en punkt \( \quad\; \iff \quad \) Funktionen växer där.

Derivatan negativ i en punkt \( \quad \iff \quad \) Funktionen avtar där.

Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i nästa avsnitt.

I exemplen 1-3 visas hur man beräknar för vilka \( \, x \, \) en funktion är växande resp. avtagande.

Exempel 1 Vinternatt

Ex 1 Temp Vinternatt.jpg        Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
\[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]

       där     \( y \;\, = \)   temperaturen i grader Celsius och

                 \( x \;\, = \)   tiden i timmar efter midnatt

       Funktionen \(\, f(x)\):s   definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)

       a)   Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:

kl 2                 kl 5                 kl 7
       b)   Rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \). Tolka graferna.

Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.


Lokala maxima och minima

Lektion 23 Lokala maxima och minima I

Lektion 24 Lokala maxima och minima II

Lokala maxima och minima är punkter som har största

resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning.

Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid

lokala maxima och minima.

Globala maxima och minima behandlas senare.

Se även Begreppsförklaringar.

\( \quad \) Maxima minima 110.jpg

För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och

vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.

Det finns två metoder för att göra denna undersökning:


  •    Teckenstudie som vi börjar med,

Regler om max/min med teckenstudie

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.









Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=2.7_Grafer_och_derivator&oldid=8386"