Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 80: | Rad 80: | ||
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>. | Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>. | ||
| + | <b>OBS!</b> I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt. | ||
| + | <!-- I förra avsnittets [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_8|<b><span style="color:blue">övn 8</span></b>]] hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn. --> | ||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> | ||
| + | |||
| + | ::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan? | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>. | ||
| + | |||
| + | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Exempel 2:</span></b> | ||
| + | |||
| + | ::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan? | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>. | ||
| + | |||
| + | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Exempel 3:</span></b> | ||
| + | |||
| + | ::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan? | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>. | ||
| + | |||
| + | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>. | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="exempel"> | ||
| + | <b><span style="color:#931136">Exempel 4:</span></b> | ||
| + | |||
| + | ::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan? | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall: | ||
| + | |||
| + | ::<u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math> | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>. | ||
| + | |||
| + | ::<u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math> | ||
| + | |||
| + | ::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math> \begin{cases} \end{cases} </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>. | ||
| + | |||
| + | ::<b>Svar:</b> <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ | ||
| + | -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </math> | ||
| + | </div> <!-- "exempel" --> | ||
| + | |||
| + | </small> | ||
</div> <!-- "ovnC" --> | </div> <!-- "ovnC" --> | ||
Versionen från 11 februari 2025 kl. 10.49
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt >> |
Repetition: Absolutbelopp för reella tal
De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) kallas för absolutbelopp och betyder:
- Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal
- och låta ett positivt tal vara oförändrat.
Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:
|
\( \quad \) |
|
\( \quad \) |
|
Allmän definition, funktion och graf
| Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom:
Grafen till funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här: |
\( \qquad \) | Fil:Övn 8.png |
Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).
OBS! I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.
Exempel 1:
- Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 7 \, | = 7\, \).
- Svar: \( \; | \, 7 \, | = 7 \).
Exempel 2:
- Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).
- Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).
Exempel 3:
- Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).
- Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).
Exempel 4:
- Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?
- Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:
- Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)
- Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).
- Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)
- Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).
- Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)
Användningar av absolutbelopp
Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,
massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, \( \, \ldots \; \).
Vi tittar närmare på avstånd:
Avstånd mellan två tal
Avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) är differensen: \( \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\; \) Ok!
Avståndet mellan \( -2 \) och \( -5 \) är differensen: \( -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; \) Fel!
Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:
- \[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:
- \[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Generellt gäller:
Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).
Talens ordning är irrelevant: \( \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)
Specialfall \( \; a \, = \, 0 \, \):
Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från \( \, 0 \, \)
Om vi i uttrycket för avstånd: \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \)
för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:
- \[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}} \]
Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:
- \[ | -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}} \]
\( 5 \, \) är alltså talet \( \, 5\):s och talet \( \, (-5)\):s avstånd från \( 0 \, \).
Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,
även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):
Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.
Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och
som avståndet \( \, | \, a - b \, | \, \) mellan \( \, a \, \) och \( \, b \, \) kan tas över till komplexa tal:
Absolutbelopp för komplexa tal
Allmän definition:
Absolutbelopp av ett komplext tal \( z \, = \, a + b\,i \;\; \) är \( \;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \; \)
Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.
