Skillnad mellan versioner av "2.7 Grafer och derivator"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 152: | Rad 152: | ||
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]]. | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]]. | ||
</div> | </div> | ||
| + | </big> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="forsmak"> | ||
| + | <big> | ||
| + | ==== <b><span style="color:#931136">Begreppsförklaringar</span></b> ==== | ||
| + | <table> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td> [[Image: Lokala_maxima_minima.jpg]]</td> | ||
| + | <td> <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter (<big><big>•</big></big>) på kurvan som har största resp. minsta <math> \, y</math>- | ||
| + | |||
| + | värden i sin närmaste omgivning. | ||
| + | |||
| + | Med <b><span style="color:red">maxima</span></b> och <b><span style="color:red">minima</span></b> menas i detta kapitel alltid <i>lokala</i> maxima/minima. | ||
| + | |||
| + | Båda tillsammans heter <b><span style="color:red">extrema</span></b>. Man skiljer mellan extremas <math> \, x</math>- och <math> \, y</math>-koordinater<span style="color:black">:</span> | ||
| + | |||
| + | <div class="border-divblue"><small>Extremas <math> \, x\,</math>-koordinater kallas för <b><span style="color:black">extrempunkter</span></b>, på bilden<span style="color:black">:</span> <math> \; 2 \; </math> och <math> \;\; 4 </math>. | ||
| + | ---- | ||
| + | Extremas <math> \, {\color{Red} y}\,</math>-koordinater kallas för <b><span style="color:red">extremvärden</span></b>, på bilden<span style="color:black">:</span> <math> \, 10 \, </math> och <math> \, 22 </math>.</small></div> | ||
| + | |||
| + | Här pratar vi om funktionens extrempunkter och extremvärden. På funktionens graf är: | ||
| + | |||
| + | minimipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> \, (2, 10) \, </math> och maximipunktens koordinater<span style="color:black">:</span> <math> \, (4, 22) \, </math>. | ||
| + | |||
| + | Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens <b><span style="color:red">karaktär</span></b> eller <b><span style="color:red">typ</span></b>. | ||
| + | </td> | ||
| + | </tr> | ||
| + | </table> | ||
| + | |||
| + | I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är [[1.5_Fördjupning_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#Allm.C3.A4n_definition_f.C3.B6r_kontinuerliga_funktioner|<b><span style="color:blue">kontinuerlig</span></b>]] i alla punkter av sin definitionsmängd. | ||
| + | |||
| + | Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | ||
| + | </big></div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | OBS! Det finns punkter där derivatan är <math> \, 0 </math>, utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i [[3.3 Terasspunkter|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]]. | ||
</big> | </big> | ||
Versionen från 14 november 2021 kl. 11.45
IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2
| << Förra avsnitt 3.1 | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer >> |
Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning
Växande och avtagande
Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.
Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:
 |
 |
Regler om en funktions växande och avtagande
Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.
| Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är växande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)
Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)
|
Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i nästa avsnitt.
I exemplen 1-3 visas hur man beräknar för vilka \( \, x \, \) en funktion är växande resp. avtagande.
Exempel 1 Vinternatt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:
|
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Lokala maxima och minima
| Lektion 23 Lokala maxima och minima I
Lektion 24 Lokala maxima och minima II Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima behandlas senare. Se även Begreppsförklaringar. |
\( \quad \) |  |
För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och
vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.
| Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
|
|
Regler om max/min med teckenstudie
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.
Begreppsförklaringar
 |
Lokala maxima och minima är punkter (•) på kurvan som har största resp. minsta \( \, y\)-
värden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Båda tillsammans heter extrema. Man skiljer mellan extremas \( \, x\)- och \( \, y\)-koordinater: Extremas \( \, x\,\)-koordinater kallas för extrempunkter, på bilden: \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Extremas \( \, {\color{Red} y}\,\)-koordinater kallas för extremvärden, på bilden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \). Här pratar vi om funktionens extrempunkter och extremvärden. På funktionens graf är: minimipunktens koordinater: \( \, (2, 10) \, \) och maximipunktens koordinater: \( \, (4, 22) \, \). Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ. |
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd.
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
OBS! Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i nästa avsnitt.
</big>
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
