Skillnad mellan versioner av "4.18 Vietas formler"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (33 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| Rad 8: | Rad 5: | ||
{{Selected tab|[[4.18 Vietas formler|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[4.18 Vietas formler|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|Övningar]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Facit.pdf|Facit]]}} | + | {{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Facit.pdf|Facit Övningar]]}} |
| − | {{Not selected tab|[[ | + | <!-- {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnosprov kap 4]]}} --> |
| + | <!-- {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos]]}} --> | ||
| + | <!-- {{Not selected tab|[[Förberedelser inför Prov kap 4 Komplexa tal|Nästa lektion >> ]]}} --> | ||
| + | {{Not selected tab|[[Förberedelser inför NP Ma4|Provtidtabell NP Ma4 >> ]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
== <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> == | ||
<big> | <big> | ||
| − | ==== | + | ==== <span style="color:#931136">Uppgift:</span> ==== |
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>. | Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>. | ||
| − | ==== | + | ==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ==== |
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller | ||
</big> | </big> | ||
| Rad 77: | Rad 77: | ||
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big> | <big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big> | ||
| + | <div class="exempel"> | ||
2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math> | 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math> | ||
| Rad 96: | Rad 97: | ||
---- | ---- | ||
| − | Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och formuleras för polynom av grad <math>n</math>. | + | Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och kan formuleras för polynom av grad <math>n</math>. |
---- | ---- | ||
| + | </div> | ||
</big> | </big> | ||
== <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> == | ||
| − | |||
<big> | <big> | ||
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]]. | Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]]. | ||
</big> | </big> | ||
| − | |||
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> == | ||
| − | + | <!-- <div class="exempel">¨--> | |
| − | < | + | <div class="ovnE"> |
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math> | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math> | ||
| − | |||
| − | ==== | + | ==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ==== |
| − | + | ||
| − | + | ||
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span> | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 139: | Rad 135: | ||
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen. | Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen. | ||
| − | + | </div> | |
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> == | ||
| − | < | + | <!-- <div class="exempel">¨--> |
| + | <div class="ovnC"> | ||
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math> | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math> | ||
| − | |||
| − | ==== | + | ==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ==== |
| − | + | ||
| − | + | ||
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span> | Vietas formler ger<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 164: | Rad 157: | ||
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. | Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. | ||
| − | + | </div> | |
| Rad 170: | Rad 163: | ||
== <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> == | ||
<big> | <big> | ||
| − | En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är: | + | En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter |
| + | |||
| + | att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. | ||
| + | |||
| + | Ett exempel är: | ||
:::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math> | :::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math> | ||
| Rad 182: | Rad 179: | ||
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. | Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. | ||
| − | Med p-q formeln får man | + | Med p-q formeln får man<span>:</span> |
:::<math>\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ | :::<math>\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ | ||
| Rad 196: | Rad 193: | ||
| + | [[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4458-4461</span></b>]] | ||
| Rad 203: | Rad 201: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 27 april 2025 kl. 12.13
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit Övningar | Provtidtabell NP Ma4 >> |
Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen
Uppgift:
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).
Lösning:
För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller
Vietas formler:
Därmed blir 2:a gradsekvationen:
|
\( \qquad \) | Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:
|
Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.
Den franske matematikern François Viète såg redan på \(1500\)-talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.
Vietas formler
Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-
garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)
Bevis med p-q formeln
2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)
Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:
\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)
Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:
\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)
Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).
Detta bevisar Vietas andra formel.
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och kan formuleras för polynom av grad \(n\).
Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.
Exempel 1:
Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)
Lösning:
För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).
Kontrollen bekräftar resultatet:
- \[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
- \[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:
- \[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
Exempel 2
Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)
Lösning:
Vietas formler ger:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).
Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:
- \[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]
Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.
Nackdelen med Vieta
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter
att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.
Ett exempel är:
- \[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.
Med p-q formeln får man:
- \[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:
- \[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]
Copyright © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.
