Skillnad mellan versioner av "4.3 Konjugatet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(35 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
IND_VAL: v6 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. [[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4116-4125</span></b>]].
 
−
 
−
IND_VAL: v6 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4126-4134</span></b>]].
 
−
 
−
 
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
−
{{Not selected tab|[[4.1 Olika typer av tal|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.1_Olika_typer_av_tal#4.2_.C2.A0_Algebrans_fundamentalsats|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
 
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
 
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
−
{{Not selected tab|[[4.5 Absolutbelopp|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.3_Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
Rad 31: Rad 26:
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
+
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
−
<big>
+
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
−
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
+
{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet#Konjugatets definition| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 +
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
 +
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
 +
{{Not selected tab|[[4.5 Absolutbelopp|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 +
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp;
 +
|}
  
−
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
 
−
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
 
  
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+
= <b><span style="color:#931136">4.4 &nbsp; Att räkna med komplexa tal</span></b> =
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
+
[[4.1_Olika_typer_av_tal#Repetition:_.C2.A0_Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]
−
</big>
+
<div class="ovnA">
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_3.jpg]]</div>
  
−
<table>
 
−
<tr> <td><div class="ovnA">
 
−
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 
−
          \end{align}} </math></td>
 
−
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
 
−
<td><math> \begin{align} 2  +  3 & = 5 = -p  \\
 
−
                        2 \cdot 3 & = 6  = q
 
−
          \end{align} </math></td>
 
−
<td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
 
−
<td><math> \begin{align} p & = -5  \\
 
−
                        q & = 6
 
−
          \end{align} </math></td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
  
−
Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_4.jpg]]</div>
−
 
+
−
::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
+
−
</div></td>
+
−
<td><math> \qquad </math></td>
+
−
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
+
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
+
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
+
−
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
+
−
                                    x_1    & = & 3                          \\
+
−
                                    x_2    & = & 2                         
+
−
            \end{array}</math></big></td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.
+
−
 
+
−
Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:
+
−
 
+
−
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
+
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
+
−
 
+
−
garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
+
−
                        x_1 \cdot x_2 & = q
+
−
          \end{align}} </math>
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
----
+
[[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4116-4125</span></b>]]
−
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
+
−
----
+
−
</big>
+
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> ==
+
[[Media: 4_1_Komplexa tal1_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4126-4134 & Historik 1-3</span></b>]]
−
 
+
−
<big>
+
−
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[Ekvationer#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
+
−
</big>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
+
−
</big>
+
−
 
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+
−
 
+
−
<big>
+
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-7) = 7  \\
+
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
+
−
        \end{align}</math>
+
−
 
+
−
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
+
−
 
+
−
Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
+
−
 
+
−
Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
+
−
 
+
−
:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
+
−
 
+
−
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
+
−
 
+
−
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
+
−
</big></div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
+
−
<big>
+
−
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
+
−
</big>
+
−
 
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-8) = 8  \\
+
−
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
+
−
        \end{align}</math>
+
−
 
+
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
+
−
 
+
−
Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
+
−
 
+
−
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
+
−
</big></div>
+
−
 
+
−
 
+
−
= <b><span style="color:#931136">4.4 &nbsp; Att räkna med komplexa tal</span></b> =
+
−
<div class="ovnA">
+
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_3.jpg]]</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_4.jpg]]</div>
+
−
</div>
+
  
  
Rad 185: Rad 64:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 26 april 2025 kl. 13.23

       <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Konjugatets definition

4 2 Komplexa tal 1.jpg


Konjugatets egenskaper

4 2 Komplexa tal 2.jpg


        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


4.4   Att räkna med komplexa tal

Olika typer av tal

4 2 Komplexa tal 3.jpg


4 2 Komplexa tal 4.jpg


Övningar 4116-4125


Övningar 4126-4134 & Historik 1-3







Copyright © 2025 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=4.3_Konjugatet&oldid=11444"