Skillnad mellan versioner av "4.18 Vietas formler"

Nuvarande version från 27 april 2025 kl. 12.13

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit Övningar

Provtidtabell NP Ma4 >>

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är $\, x_1 = 2 \,$ och $\, x_2 = 3$ .

Lösning:

För lösningarna $x_1\,$ och $\, x_2\,$ av 2:a gradsekvationen $\, x^2 + p\,x + q = 0 \,$ gäller

Vietas formler:

$\boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}}$

$\quad {\rm Dvs:} \quad$

$\begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align}$

$\quad {\rm och:} \quad$

$\begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align}$

Därmed blir 2:a gradsekvationen:

$\; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0$

$\qquad$

Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:

$\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}$

Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.

Den franske matematikern François Viète såg redan på $1500$ -talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen $\; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \;$ har lösnin-

garna $x_1\,$ och $x_2\,$ så gäller $\qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}}$

Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen $\, x^2 + p\,x + q = 0\,$ har enligt pq-formeln lösningarna $\quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

$\displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p$

Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

$\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q$

Omformningen kring $\color{Red} =$ sker enligt konjugatregeln $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$ om vi sätter $\displaystyle a = -\frac{p}{2}$ och $\displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$ .

Detta bevisar Vietas andra formel.

Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än $2$ och kan formuleras för polynom av grad $n$ .

Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.

Exempel 1:

Lös ekvationen $\quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0$

Lösning:

För lösningarna $x_1\,$ och $x_2\,$ måste enligt Vietas formler gälla:

$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}$

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man $\, 2 \,$ och $\, 5 \,$ eftersom $\, 2 + 5 = 7\,$ och $\, 2 \cdot 5 = 10$ .

Kontrollen bekräftar resultatet:

$2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0$

$5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0$

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet $x^2 - 7\,x + 10$ kan vi faktorisera det:

$x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5)$

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.

Exempel 2

Lös ekvationen $\quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0$

Lösning:

Vietas formler ger:

$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}$

Man hittar lösningarna $x_1 = 4\,$ och $x_2 = 4\,$ eftersom $4 + 4 = 8\,$ och $4 \cdot 4 = 16$ .

Därför kan polynomet $x^2 - 8\,x + 16$ faktoriseras så här:

$x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2$

Den dubbla förekomsten av faktorn $(x-4)\,$ ger roten, dvs lösningen $x = 4\,$ , dess namn dubbelrot.

Nackdelen med Vieta

En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter

att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.

Ett exempel är:

$x^2 - 13\,x + 2 = 0$

Vietas formler ger:

$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}$

Det är inte så enkelt att få fram lösningarna $x_1\,$ och $x_2\,$ ur dessa relationer.

Med p-q formeln får man:

$\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}$

I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:

$\begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}$

Övningar 4458-4461

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 __NOTOC__
-IND_VAL: v13 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_16_Faktorsatsen_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4429-4440</span></b>]].
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[4.16 Faktorsatsen| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[4.17 Polynomekvationer av högre grad| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
-{{Selected tab|[[4.17 Polynomekvationer av högre grad|Genomgång]]}}
+{{Selected tab|[[4.18 Vietas formler|Genomgång]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: 4_17_Polynomekv_Hogre_Ovn.pdf|Övningar]]}}
+{{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: 4_17_Polynomekv_Hogre_Facit.pdf|Facit]]}}
+{{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Facit.pdf|Facit Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[4.18 Vietas formler|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+<!-- {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnosprov kap 4]]}} -->
+<!-- {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos]]}} -->
+<!-- {{Not selected tab|[[Förberedelser inför Prov kap 4 Komplexa tal|Nästa lektion&nbsp;&nbsp;>> ]]}} -->
+{{Not selected tab|[[Förberedelser inför NP Ma4|Provtidtabell NP Ma4&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 | style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 |}
 == <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
 <big>
-Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
+==== <span style="color:#931136">Uppgift:</span> ====
-==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
 Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
-==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ====
 För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
 </big>
@@ Rad 62: / Rad 60: @@
 <big>
-Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.
+Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.
-Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:
+Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] såg redan på <math>1500</math>-talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.
 == <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
@@ Rad 79: / Rad 77: @@
 <big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>
-:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt [[Ekvationer#3) pq-formeln:|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
+<div class="exempel">
+:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
 Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>
@@ Rad 93: / Rad 92: @@
-Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_och_konjugatregeln|<b><span style="color:blue">konjugatregeln</span></b>]] <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
+Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt konjugatregeln <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
 Detta bevisar Vietas andra formel.
-<big><b><span style="color:#931136">Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter</span></b></big>
-Lösningarna <math> \, x_1\, </math> och <math> \, x_2\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, </math> är nollställena till 2:gradspolynomet<span style="color:black">:</span>
-:::::::::<math> x^2 + p\,x + q </math>
-Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform <math> \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)</math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span>
-:::::::::<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 </math>
-Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
-Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare<span style="color:black">:</span>
-::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 </math>
-En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet <math> x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math> (högerled) och polynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> (vänsterled) ger:
-:::::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
-Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Polynom_i_faktorform|<b><span style="color:blue">Polynom i faktorform</span></b>]] och/eller [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">Jämförelse av koefficienter</span></b>]].
 ----
-Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
+Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och kan formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
 ----
+</div>
 </big>
 == <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> ==
 <big>
-Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[Ekvationer#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
+Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
 </big>
-<div class="exempel">
 == <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
+<!-- <div class="exempel">¨-->
-<big>
+<div class="ovnE">
 Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
-</big>
-==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ====
-<big>
 För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
@@ Rad 165: / Rad 135: @@
 Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
-</big></div>
+</div>
-<div class="exempel">
 == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
-<big>
+<!-- <div class="exempel">¨-->
+<div class="ovnC">
 Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
-</big>
-==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
+==== <span style="color:#931136">Lösning:</span> ====
-<big>
 Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
@@ Rad 190: / Rad 157: @@
 Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
-</big></div>
+</div>
@@ Rad 196: / Rad 163: @@
 == <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
 <big>
-En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:
+En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter
+att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.
+Ett exempel är:
 :::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
@@ Rad 208: / Rad 179: @@
 Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer.
-Med p-q formeln får man (se lösningen till [[1.3_Lösning_10b|övning 10 b)]])<span style="color:black">:</span>
+Med p-q formeln får man<span>:</span>
 :::<math>\begin{align}             x_1     & = 12,84428877                 \\
@@ Rad 220: / Rad 191: @@
            \end{align}</math>
 </big></div>
-</small>
+[[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4458-4461</span></b>]]
@@ Rad 229: / Rad 201: @@
-[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.
+[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2025 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved.

Skillnad mellan versioner av "4.18 Vietas formler"

Nuvarande version från 27 april 2025 kl. 12.13

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Uppgift:

Lösning:

Vietas formler

Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Exempel 1:

Lösning:

Exempel 2

Lösning:

Nackdelen med Vieta

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 4

Navigering

Sök