Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt >>

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken $\; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \;$ kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

$| \, - 7 \, | \, = \, 7$

$| \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5$

$\left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5}$

$\quad$

$| \; 23 \; | \, = \, 23$

$| \, 7,25 \, | \, = \, 7,25$

$\left| \, 0 \, \right| \, = \, 0$

$\quad$

$\left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3}$

$| \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$

$| \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet

$\; | \, x \, | \;$ av ett tal

$x\,$ definieras genom:

$| \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases}$

Grafen till funktionen $\; y = | \, x \, | \;$ ser ut så här:

$\qquad$

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla $x \,$ .

Användningar av absolutbelopp

Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,

massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, $\, \ldots \;$ .

Vi tittar närmare på avstånd:

Avstånd mellan två tal

Avståndet mellan $\, 2 \,$ och $\, 5 \,$ är differensen $\; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\;$ Ok!

Avståndet mellan $-2$ och $-5$ är differensen $-5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\;$ Fel!

Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:

${\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

${ \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$

Generellt gäller:

Absolutbeloppet $\; | \, a - b \, | \;$ är avståndet mellan talen $\, a \,$ och $\, b \,$ .

Talens ordning är irrelevant $\; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, |$

Specialfall $\; a \, = \, 0 \,$ :

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$

Om vi i uttrycket för avstånd $\, | \, a - b \, | \,$ sätter in $a = 0 \,$ och $b = -5 \,$

för att beräkna avståndet mellan $0 \,$ och $-5 \,$ får vi:

$| \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}}$

Och tar vi $\, | \, b - a \, | \,$ blir det samma resultat:

$| -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}}$

$5 \,$ är alltså talet $\, 5$ :s och talet $\, (-5)$ :s avstånd från $0 \,$ .

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet $| \, i \, | = 1$ ovan och motivera!):

Absolutbeloppet $\; | \, a \, | \;$ är talet $a$ :s avstånd från 0.

Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och

som avståndet $\, | \, a - b \, | \,$ mellan $\, a \,$ och $\, b \,$ kan tas över till komplexa tal:

Mer om Absolutbelopp

Absolutbelopp för komplexa tal

Allmän definition:

Absolutbelopp av ett komplext tal $z \, = \, a + b\,i \;\;$ är $\;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \;$

Övningar 4133-4141

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
 __NOTOC__
-IND_VAL: v6 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. [[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4135-4141</span></b>]].
-IND_VAL: v6 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4202-4211</span></b>]].
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
-{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
+{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 {{Selected tab|[[4.5 Absolutbelopp|Genomgång]]}}
 {{Not selected tab|[[Media: 4_5_Absolutbelopp_Ovn.pdf|Övningar]]}}
-{{Not selected tab|[[Media: 4_5_Absolutbelopp_Facit.pdf|Facit]]}}
+{{Not selected tab|[[Media: 4_5_Absolutbelopp_Facita.pdf|Facit]]}}
 <!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
 {{Not selected tab|[[4.6 Komplexa tal som vektorer|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
@@ Rad 25: / Rad 20: @@
 ::<span style="color:red">och låta ett positivt tal vara oförändrat.</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
-Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>.
+Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>. Exempel:
 </big></big>
-Exempel:
 <div class="ovnE">
 <table>
@@ Rad 40: / Rad 33: @@
 <td><math> \quad </math></td>
 <td>
-::::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
+::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
-::::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
+::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
-::::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
+::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
 </td>
 <td><math> \quad </math></td>
 <td>
-::::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math>
+::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
-::::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
+::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}} </math>
-::::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \; \text{(se nedan)}</math>
+::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}} </math>
 </td>
 </tr>
@@ Rad 58: / Rad 51: @@
 </div>
 </div>
+<div class="ovnC">
+=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition, funktion och graf</span></b> ===
+<div class="border-divblue">
+<table>
+<tr>
+  <td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom<span style="color:black">:</span>
+::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x   \geq  0  \\
+                                               -x & \mbox{om } x   <  0     \\
+\end{cases}
+</math>
+Grafen till &nbsp; <b><span style="color:#931136">funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math></span></b> ser ut så här:
+</td>
+  <td><math> \qquad </math></td>
+  <td>[[Image: Ovn_8_abs.jpg]]</td>
+</tr>
+</table>
+Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
+</div>
+</div>
+= <b><span style="color:#931136">Användningar av absolutbelopp</span></b> =
+<div class="ovnE">
+<div class="border-divblue">
+Storheter som till sin natur är <b>positiva</b>. Ex.: avstånd, längd, area, volym,
+massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
+</div>
+<big>
+Vi tittar närmare på <b>avstånd</b>:
+<div class="exempel">
+==== <b><span style="color:#931136">Avstånd mellan två tal</span></b> ====
+Avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> är differensen<span>:</span> <math> \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\; </math> <b><span style="color:red">Ok!</span></b>
+Avståndet mellan <math> -2 </math> och <math> -5 </math> är differensen<span>:</span> <math> -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; </math> <b><span style="color:red">Fel!</span></b>
+Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför<span>:</span>
+:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
+Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat<span style="color:black">:</span>
+:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
+</div>
+Generellt gäller:
+<div class="border-divblue">
+Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
+</div>
+Talens ordning är irrelevant<span>:</span> <math> \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
+<b>Specialfall</b> <math> \; a \, = \, 0 \, </math>:
+<div class="exempel">
+==== <b><span style="color:#931136">Ett tals absolutbelopp &nbsp; = &nbsp; Talets avstånd från <math> \, 0 \, </math></span></b> ====
+Om vi i uttrycket för avstånd<span>:</span> <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math>
+för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
+:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}} </math>
+Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:
+:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}} </math>
+<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, 5</math>:s och talet <math> \, (-5)</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
+</div>
+Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,
+även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):
+<div class="border-divblue">
+Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
+</div>
+Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och
+som avståndet <math> \, | \, a - b \, | \, </math> mellan <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math> kan tas över till komplexa tal:
+</big>
+</div>
+[https://matte3c.mathonline.se/index.php/1.6_Absolutbelopp <big>Mer om Absolutbelopp</big>]
 = <b><span style="color:#931136">Absolutbelopp för komplexa tal</span></b> =
 <div class="ovnC">
-<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_5 Absolutbelopp.jpg]]
+<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_5_Absolutbelopp.jpg]]
 </div>
 </div>
+<big><big>
+Allmän definition:
+<div class="border-divblue">
+<b>
+Absolutbelopp av ett komplext tal <math> z \, = \, a + b\,i \;\; </math> är <math> \;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \; </math>
+</b>
+</div>
+</big></big>
+[[Media: 4_5_Absolutbelopp_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4133-4141</span></b>]]
 <br>

Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

Allmän definition, funktion och graf

Användningar av absolutbelopp

Avstånd mellan två tal

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$

Absolutbelopp för komplexa tal

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 4

Navigering

Sök

Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

Allmän definition, funktion och graf

Användningar av absolutbelopp

Avstånd mellan två tal

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från 0 \, 0 \,

Absolutbelopp för komplexa tal

Navigeringsmeny

Sök

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$