Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt >>

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

De två raka strecken $\; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \;$ kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal

och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:

$| \, - 7 \, | \, = \, 7$

$| \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5$

$\left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5}$

$\quad$

$| \; 23 \; | \, = \, 23$

$| \, 7,25 \, | \, = \, 7,25$

$\left| \, 0 \, \right| \, = \, 0$

$\quad$

$\left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3}$

$| \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$

$| \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\;\; {\color{Red} {\text{Se nedan}}}$

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet

$\; | \, x \, | \;$ av ett tal

$x\,$ definieras genom:

$| \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases}$

Grafen till funktionen $\; y = | \, x \, | \;$ ser ut så här:

$\qquad$

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla $x \,$ .

Användningar av absolutbelopp

Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,

massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, $\, \ldots \;$ .

Vi tittar närmare på avstånd:

Avstånd mellan två tal

Avståndet mellan $\, 2 \,$ och $\, 5 \,$ är differensen $\; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\;$ Ok!

Avståndet mellan $-2$ och $-5$ är differensen $-5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\;$ Fel!

Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:

${\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

${ \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3$

Generellt gäller:

Absolutbeloppet $\; | \, a - b \, | \;$ är avståndet mellan talen $\, a \,$ och $\, b \,$ .

Talens ordning är irrelevant $\; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, |$

Specialfall $\; a \, = \, 0 \,$ :

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$

Om vi i uttrycket för avstånd $\, | \, a - b \, | \,$ sätter in $a = 0 \,$ och $b = -5 \,$

för att beräkna avståndet mellan $0 \,$ och $-5 \,$ får vi:

$| \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}}$

Och tar vi $\, | \, b - a \, | \,$ blir det samma resultat:

$| -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}}$

$5 \,$ är alltså talet $\, 5$ :s och talet $\, (-5)$ :s avstånd från $0 \,$ .

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,

även för komplexa (se exemplet $| \, i \, | = 1$ ovan och motivera!):

Absolutbeloppet $\; | \, a \, | \;$ är talet $a$ :s avstånd från 0.

Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och

som avståndet $\, | \, a - b \, | \,$ mellan $\, a \,$ och $\, b \,$ kan tas över till komplexa tal:

Mer om Absolutbelopp

Absolutbelopp för komplexa tal

Allmän definition:

Absolutbelopp av ett komplext tal $z \, = \, a + b\,i \;\;$ är $\;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \;$

Övningar 4133-4141

@@ Rad 54: / Rad 54: @@
 <div class="ovnC">
-<small>
 === <b><span style="color:#931136">Allmän definition, funktion och graf</span></b> ===
 <div class="border-divblue">
@@ Rad 60: / Rad 59: @@
 <tr>
    <td>Absolutbeloppet <math> \; | \, x \, | \; </math> av ett tal <math> x\, </math> definieras genom<span style="color:black">:</span>
 ::::<math> | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x   \geq  0  \\
@@ Rad 66: / Rad 64: @@
 \end{cases}
 </math>
 Grafen till &nbsp; <b><span style="color:#931136">funktionen <math> \; y = | \, x \, | \; </math></span></b> ser ut så här:
 </td>
    <td><math> \qquad </math></td>
-   <td>[[Image: Övn 8.png]]</td>
+   <td>[[Image: Ovn_8_abs.jpg]]</td>
 </tr>
 </table>
+Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
 </div>
-Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla <math> x \, </math>.
-<b>OBS!</b> &nbsp; I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.
-<!-- I förra avsnittets  [[1.5_Övningar_till_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner#.C3.96vning_8|<b><span style="color:blue">övn 8</span></b>]] hade vi redan stiftat bekantskap med den utan att nämna dess namn. -->
-<div class="exempel">
-<b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b>
-::Vad är <math> | \, 7 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Eftersom <math> x = 7 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math>  $\begin{cases} \end{cases}$  </math>, dvs <math> | \, 7 \, | = 7\, </math>.
-::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 7 \, | = 7 </math>.
 </div>
-<div class="exempel">
-<b><span style="color:#931136">Exempel 2:</span></b>
-::Vad är <math> | \, - 5 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Eftersom <math> x = -5 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math>  $\begin{cases} \end{cases}$  </math>, dvs <math> | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 </math>.
-::<b>Svar:</b> <math> \; | \, - 5 \, | = 5 </math>.
-</div>
-<div class="exempel">
-<b><span style="color:#931136">Exempel 3:</span></b>
-::Vad är <math> | \, 0 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Eftersom <math> x = 0 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math>  $\begin{cases} \end{cases}$  </math>, dvs <math> | \, 0 \, | = 0\, </math>.
-::<b>Svar:</b> <math> \; | \, 0 \, | = 0 </math>.
-</div>
-<div class="exempel">
-<b><span style="color:#931136">Exempel 4:</span></b>
-::Vad är <math> | \, a + 2 \, | </math> enligt definitionen ovan?
-::Eftersom vi inte känner till <math> \, a</math>:s värde och därför inte vet om <math> \, a + 2 </math> blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:
-::<u><b>Fall 1</b></u> <math> \quad a + 2 \geq 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a \geq -2 </math>
-::Eftersom <math> x = a + 2 \geq 0 </math> väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern <math>  $\begin{cases} \end{cases}$  </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | = a + 2\, </math>.
-::<u><b>Fall 2</b></u> <math> \quad a + 2 < 0 \quad \; </math> eller <math> \;\quad a < -2 </math>
-::Eftersom <math> \; x = a + 2 < 0\, </math> väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern <math>  $\begin{cases} \end{cases}$  </math>, dvs <math> | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, </math>.
-::<b>Svar:</b> <math> \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\
-                                                                     -a-2 & \mbox{om } a < -2    \\
-                                       \end{cases}
-</math>
-</div> <!-- "exempel" -->
-</small>
-</div> <!-- "ovnC" -->
@@ Rad 228: / Rad 163: @@
 </big></big>
+[[Media: 4_5_Absolutbelopp_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4133-4141</span></b>]]
 <br>

Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

Allmän definition, funktion och graf

Användningar av absolutbelopp

Avstånd mellan två tal

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$

Absolutbelopp för komplexa tal

Navigeringsmeny

Personliga verktyg

Matematik 4

Navigering

Sök

Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"

Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.37

Repetition: Absolutbelopp för reella tal

Allmän definition, funktion och graf

Användningar av absolutbelopp

Avstånd mellan två tal

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från 0 \, 0 \,

Absolutbelopp för komplexa tal

Navigeringsmeny

Sök

Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från $\, 0 \,$