1.15 Tillämpningar och problemlösning

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Facit

Innehållsförteckning

Användning av trigonometri

Oljetank med spiraltrappa

Fil:14 Spiraltrappa 800.jpg

Lösning

Lösning

Lösning på fel i Oljetank med spiraltrappa

  Hämtar...

Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Höjden av en ballong

\[ \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} \] \[{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ \] \[{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} \] \[ v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ \]

Femhörningens area

Triangelsatserna

Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.

Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:

Areasatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.

Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur).

Det omvända problemet:

Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:

Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.

Sinussatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.

Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar): I en triangel är kvoten mellan vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor.

Exempel på sinussatsen (två lösningar)

Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:

Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).

Cosinussatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med en \( \cos\)-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln.

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.

När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.

Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen

Varför två lösningar? Varför två lösningar? Varför två lösningar   Hämtar... Visa mindre Visa mer Dölj allt Visa allt

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.

Klippans höjd

Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.