2.7 Grafer och derivator

IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2

<<  Förra avsnitt 3.1

Genomgång

Övningar

Facit

Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer  >>

Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning

Fil:3 4 Derivator grafer

Växande och avtagande

Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.

I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.

Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:

Regler om en funktions växande och avtagande

Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.

Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är   växande   för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \) Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \) Kortfattat: \( \quad \) Derivatan positiv i en punkt \( \quad\; \iff \quad \) Funktionen växer där. Derivatan negativ i en punkt \( \quad \iff \quad \) Funktionen avtar där.

Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i nästa avsnitt.

I exemplen 1-3 visas hur man beräknar för vilka \( \, x \, \) en funktion är växande resp. avtagande.

Exempel 1 Vinternatt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]        där     \( y \;\, = \)   temperaturen i grader Celsius och                  \( x \;\, = \)   tiden i timmar efter midnatt        Funktionen \(\, f(x)\):s   definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)        a)   Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid: kl 2                 kl 5                 kl 7        b)   Rita graferna till \( \, f(x) \, \) och \( \, f\,'(x) \). Tolka graferna.

Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.

Lokala maxima och minima

Lektion 23 Lokala maxima och minima I Lektion 24 Lokala maxima och minima II Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima behandlas senare. Se även Begreppsförklaringar.

\( \quad \)

För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och

vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.

Det finns två metoder för att göra denna undersökning:

Teckenstudie som vi börjar med,    Andraderivatan som tas upp längre fram.

Regler om max/min med teckenstudie

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).

---

\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.

Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.