Skillnad mellan versioner av "1.15 Tillämpningar och problemlösning"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
| − | + | = <b><span style="color:#931136">Användning av trigonometri <!-- <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 232-233 </small></small> --> </span></b> = | |
| − | + | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
=== <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> === | ||
| Rad 285: | Rad 284: | ||
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[1.15 Tillämpningar och problemlösning#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]]. | Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[1.15 Tillämpningar och problemlösning#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]]. | ||
| + | </big> | ||
Versionen från 28 september 2024 kl. 13.14
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Innehållsförteckning |
Användning av trigonometri
Oljetank med spiraltrappa
Hämtar...
|
 |
Triangelsatserna
Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.
Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
Areasatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.
|
 Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor
och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur). |
Det omvända problemet:
Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).
 |
Varför två lösningar?
|
Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
Sinussatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
 |
I en triangel är kvoten mellan
vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor. |
Exempel på sinussatsen (två lösningar)
Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
 |
Varför två lösningar?
|
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:
Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).
Cosinussatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
en \( \cos\)-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln. |
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.
När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.
Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen
 |
Varför två lösningar?
|
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.
|
 |
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
