Skillnad mellan versioner av "1.15 Tillämpningar och problemlösning"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 12: Rad 12:
  
  
 +
== <b><span style="color:#931136">5.4 Triangelsatserna <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 218 </small></small></span></b> ==
 +
 +
 +
Det finns tre triangelsatser: <b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b>, <b><span style="color:#931136">Sinussatsen</span></b> och <b><span style="color:#931136">Cosinussatsen</span></b>.
 +
 +
Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
 +
 +
<big><b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b></big>
 +
 +
<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
 +
 +
<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns area.
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0b.jpg]]</div>
 +
 +
 +
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400a.jpg]]</div>
 +
 +
&nbsp; Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
 +
 +
<div class="border-divblue">En triangels area är produkten av <b><span style="color:red">två sidor</span></b>
 +
 +
och den <b><span style="color:red">mellanliggande vinkelns</span></b> sinus,
 +
 +
delad med <math> \, 2 \, </math> (<b><span style="color:red">SVS</span></b>-struktur).</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
<big><b><span style="color:#931136">Det omvända problemet:</span></b></big>
 +
 +
<u>Givet:</u> <math> \quad </math> Arean och två sidor av en triangel.
 +
 +
<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Den mellanliggande vinkeln <math> \, v \, </math>.
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0c.jpg]]</div>
 +
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
 +
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
 +
 +
Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">5.5 Sinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 220 / 224-225 </small></small></span></b> ==
 +
 +
<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
 +
 +
<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsen_400.jpg]] </div>
 +
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
 +
 +
<div class="border-divblue">I en triangel är kvoten mellan
 +
 +
vinklarnas sinus och deras
 +
 +
motstående sidor lika stor.</div>
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel på sinussatsen (två lösningar)</span></b> ====
 +
 +
<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
 +
 +
<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsens_2_fall_400.jpg]] </div>
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Tva trianglar.jpg]] </div>
 +
</td>
 +
<td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
 +
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har [[Kapitel_5_Trigonometri#5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur, dvs:
 +
 +
Triangelns två sidor <math> \, b = 27 \, </math> och <math> \, c = 35 \, </math> är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot <math> \, b </math>.
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">5.6 Cosinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 229-230 </small></small></span></b> ==
 +
 +
<u>Givet:</u> <math> \quad </math>  Två sidor och en vinkel i en triangel.
 +
 +
<u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.
 +
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Cosinussatsen_400.jpg]] </div>
 +
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="border-divblue">Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
 +
 +
en <math> \cos</math>-term som involverar högerledets
 +
 +
två sidor och den mellanliggande vinkeln.</div>
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet<span style="color:black">:</span> <math> \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 </math>. Då försvinner <math> \cos</math>-termen i cosinussatsen.
 +
 +
När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna ([[Kapitel_5_Trigonometri#5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: <b><span style="color:red">endast en lösning</span></b>.
 +
 +
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har <b><span style="color:red">två lösningar</span></b>, se exemplet nedan.
 +
 +
<big><b><span style="color:#931136">Samma exempel som [[Kapitel_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<span style="color:blue">ovan</span>]], nu med cosinussatsen</span></b></big>
 +
 +
<div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_1_400.jpg]] </div><br>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_2_400.jpg]] </div>
 +
 +
</td>
 +
<td>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</td>
 +
  <td>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
{{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
 +
</div>
 +
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 +
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[Kapitel_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]].
 +
 +
 +
== <b><span style="color:#931136">5.7 Användning av trigonometri <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 232-233 </small></small></span></b> ==
 
= <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> =
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">

Versionen från 25 september 2024 kl. 13.58

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Innehållsförteckning          Nästa avsnitt  >>      


5.4 Triangelsatserna \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 218

Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.

Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:

Areasatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.

11 Areasatsen 400 0b.jpg


       
11 Areasatsen 400a.jpg

  Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

En triangels area är produkten av två sidor

och den mellanliggande vinkelns sinus,

delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur).

Det omvända problemet:

Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).

11 Areasatsen 400 0c.jpg
     




Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:

Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.


5.5 Sinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 220 / 224-225

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.

12 Sinussatsen 400.jpg
         





Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

I en triangel är kvoten mellan

vinklarnas sinus och deras

motstående sidor lika stor.

Exempel på sinussatsen (två lösningar)

Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

12 Sinussatsens 2 fall 400.jpg
  









12 Tva trianglar.jpg












Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:

Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).


5.6 Cosinussatsen \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 229-230

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

13 Cosinussatsen 400.jpg
    




Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med

en \( \cos\)-term som involverar högerledets

två sidor och den mellanliggande vinkeln.

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.

När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.

Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen

13 Ex Cosinussatsen 1 400.jpg

13 Ex Cosinussatsen 2 400.jpg
    













Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.


5.7 Användning av trigonometri \( \qquad\qquad\;\; \) Övningar:   Boken, sid 232-233

Oljetank med spiraltrappa


Lösning
Lösning på fel i Oljetank med spiraltrappa








Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=1.15_Tillämpningar_och_problemlösning&oldid=10840"