Skillnad mellan versioner av "1.15 Tillämpningar och problemlösning"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
<big> | <big> | ||
<br> | <br> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Triangelsatserna <!-- <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 218 </small></small> --> </span></b> == |
| Rad 76: | Rad 76: | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Sinussatsen <!-- <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 220 / 224-225 </small></small> --></span></b> == |
<u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel. | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel. | ||
| Rad 168: | Rad 168: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har [[1.15_Tillämpningar_och_problemlösning# | + | Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har [[1.15_Tillämpningar_och_problemlösning#Triangelsatserna|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur, dvs: |
Triangelns två sidor <math> \, b = 27 \, </math> och <math> \, c = 35 \, </math> är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot <math> \, b </math>. | Triangelns två sidor <math> \, b = 27 \, </math> och <math> \, c = 35 \, </math> är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot <math> \, b </math>. | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"> | + | == <b><span style="color:#931136">Cosinussatsen <!-- <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 229-230 </small></small> --></span></b> == |
<u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel i en triangel. | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel i en triangel. | ||
| Rad 205: | Rad 205: | ||
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet<span style="color:black">:</span> <math> \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 </math>. Då försvinner <math> \cos</math>-termen i cosinussatsen. | Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet<span style="color:black">:</span> <math> \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 </math>. Då försvinner <math> \cos</math>-termen i cosinussatsen. | ||
| − | När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna ([[1.15 Tillämpningar och problemlösning# | + | När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna ([[1.15 Tillämpningar och problemlösning#Triangelsatserna|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: <b><span style="color:red">endast en lösning</span></b>. |
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har <b><span style="color:red">två lösningar</span></b>, se exemplet nedan. | När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har <b><span style="color:red">två lösningar</span></b>, se exemplet nedan. | ||
Versionen från 25 september 2024 kl. 22.39
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Innehållsförteckning |
Triangelsatserna
Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.
Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
Areasatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.
|
 Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor
och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur). |
Det omvända problemet:
Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).
 |
Varför två lösningar?
|
Hämtar...Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
Sinussatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
 |
I en triangel är kvoten mellan
vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor. |
Exempel på sinussatsen (två lösningar)
Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
 |
Varför två lösningar?
|
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:
Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).
Cosinussatsen
Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.
Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.
 |
Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
en \( \cos\)-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln. |
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.
När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.
Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen
 |
Varför två lösningar?
|
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.
5.7 Användning av trigonometri
Oljetank med spiraltrappa
|
 |
|
 |
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
