Skillnad mellan versioner av "4.6 Komplexa tal som vektorer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(40 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
IND_VAL: v6 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_6_Komplexa_vektorer_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4202-4216</span></b>]].
 
−
 
−
 
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
Rad 8: Rad 5:
 
{{Selected tab|[[4.6 Komplexa tal som vektorer|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[4.6 Komplexa tal som vektorer|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_6_Komplexa_vektorer_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_6_Komplexa_vektorer_Ovn.pdf|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[Media: 4_6_Komplexa_vektorer_Ovn_Facit.pdf|Facit]]}}
+
{{Not selected tab|[[Media: 4_6_Komplexa_vektorer_Facit.pdf|Facit]]}}
 
{{Not selected tab|[[4.7 Visualiseringar i det komplexa talplanet|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
{{Not selected tab|[[4.7 Visualiseringar i det komplexa talplanet|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
Rad 14: Rad 11:
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Repetition: Absolutbelopp för reella tal</span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Punkt som vektor</span></b> =
−
<div class="border-divblue">
+
−
<big><big>De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> kallas för <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> och&nbsp;betyder:
+
−
 
+
−
::<b><span style="color:red">Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal</span>
+
−
 
+
−
::<span style="color:red">och låta ett positivt tal vara oförändrat.</span></b>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
+
−
 
+
−
Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>. Exempel:
+
−
</big></big>
+
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<table>
+
=== <b><span style="color:#931136">Det komplexa talplanet</span></b> ===
−
<tr><td>
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_6_Komplexa_vektorer_1.jpg]]
−
::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>
+
−
 
+
−
::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>
+
−
 
+
−
::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
+
−
</td>
+
−
<td><math> \quad </math></td>
+
−
<td>
+
−
::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
+
−
 
+
−
::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
+
−
 
+
−
::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
+
−
</td>
+
−
<td><math> \quad </math></td>
+
−
<td>
+
−
::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
+
−
 
+
−
::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math>
+
−
 
+
−
::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\; {\color{Red} {\text{Varför?}}} </math>
+
−
</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Användning av absolutbelopp</span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Addition av komplexa tal som addition av vektorer</span></b> =
−
<div class="ovnE">
+
<div class="ovnC">
−
<div class="border-divblue">
+
=== <b><span style="color:#931136">Summan av två vektorer u och z är vektorn som bildas av:</span></b> ===
−
Storheter som till sin natur är <b>positiva</b>. Ex.: avstånd, längd, area,
+
=== <b><span style="color:#931136">Diagonalen i det parallellogram som spänns upp av vektorerna</span></b> ===
−
 
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_6_Komplexa_vektorer_2.jpg]]
−
volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
+
−
</div>
+
−
 
+
−
<big>
+
−
Vi tittar närmare på avstånd:
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Avstånd mellan två tal på den reella tallinjen</span></b> ====
+
−
 
+
−
Avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> är differensen<span>:</span> <math> \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>
+
−
 
+
−
Avståndet mellan <math> -2 </math> och <math> -5 </math> är differensen<span>:</span> <math> -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; </math> <b><span style="color:red">Fel!</span></b>
+
−
 
+
−
Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför<span>:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
+
−
 
+
−
Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
:::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
+
 
</div>
 
</div>
−
</big>
 
 
</div>
 
</div>
  
  
−
<div class="ovnC">
+
= <b><span style="color:#931136">Subtraktion av komplexa tal som subtraktion av vektorer</span></b> =
−
<big>
+
<div class="ovnA">
−
Generellt gäller:
+
=== <b><span style="color:#931136"> u = 3 + i &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; z = 1 + 4i</span></b> ===
−
 
+
=== <b><span style="color:#931136">Differensen &nbsp; u - z &nbsp;&nbsp; bildas som &nbsp;&nbsp; summan &nbsp; u + (-z)</span></b> ===
−
<div class="border-divblue">
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_6_Komplexa_vektorer_3a.jpg]]
−
Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
+
−
</div>
+
−
 
+
−
Talens ordning är irrelevant<span>:</span> <math> \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
+
−
 
+
−
Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Ett tals absolutbelopp &nbsp; = &nbsp; Talets avstånd från <math> \, 0 \, </math></span></b> ====
+
−
 
+
−
Om vi i uttrycket för avstånd<span>:</span> <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math>
+
−
 
+
−
för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
+
−
 
+
−
:::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>
+
−
 
+
−
Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:  
+
−
 
+
−
:::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>
+
−
 
+
−
<math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, 5</math>:s och talet <math> \, (-5)</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
+
 
</div>
 
</div>
−
 
−
Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,
 
−
 
−
även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):
 
−
 
−
<div class="border-divblue">
 
−
Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
 
−
</div>
 
−
Tolkningen av absolutbeloppet som avståndet från 0 kan tas över till komplexa tal:
 
−
</big>
 
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Absolutbelopp för komplexa tal</span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet</span></b> =
 
<div class="ovnE">
 
<div class="ovnE">
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_5_Absolutbelopp.jpg]]
+
=== <b><span style="color:#931136">Cirkel &nbsp; = &nbsp; Mängden av alla punkter <math> \, z \, </math> som har samma avstånd från</span> medelpunkten <math> \, z_0 </math></b> ===
 +
=== <b><span style="color:#931136">[[4.5_Absolutbelopp#Avst.C3.A5nd_mellan_tv.C3.A5_tal|<span style="color:blue">Avståndet</span>]] mellan <math> \, z \, </math> och <math> \, z_0 \; </math> är <math> \; | \, z - z_0 \, | \; \implies \; </math></span>Cirkelns ekvation<span>:</span>  <math> \; | \, z - z_0 \, | \; = \; r</math></b> ===
 +
=== <b><span style="color:#931136">Två exempel:</span></b> ===
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_6_Komplexa_vektorer_4.jpg]]
 
</div>
 
</div>
 
</div>
 
</div>
  
  
 +
[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4202-4216</span></b>]]
  
 
<br>
 
<br>

Nuvarande version från 11 mars 2025 kl. 13.36

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Punkt som vektor

Det komplexa talplanet

4 6 Komplexa vektorer 1.jpg


Addition av komplexa tal som addition av vektorer

Summan av två vektorer u och z är vektorn som bildas av:

Diagonalen i det parallellogram som spänns upp av vektorerna

4 6 Komplexa vektorer 2.jpg


Subtraktion av komplexa tal som subtraktion av vektorer

u = 3 + i      z = 1 + 4i

Differensen   u - z    bildas som    summan   u + (-z)

4 6 Komplexa vektorer 3a.jpg


Cirkelns ekvation i det komplexa talplanet

Cirkel   =   Mängden av alla punkter \( \, z \, \) som har samma avstånd från medelpunkten \( \, z_0 \)

Avståndet mellan \( \, z \, \) och \( \, z_0 \; \) är \( \; | \, z - z_0 \, | \; \implies \; \)Cirkelns ekvation: \( \; | \, z - z_0 \, | \; = \; r\)

Två exempel:

4 6 Komplexa vektorer 4.jpg


Övningar 4202-4216






Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=4.6_Komplexa_tal_som_vektorer&oldid=11323"