Skillnad mellan versioner av "2.7 Grafer och derivator"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (29 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[2.6 Derivatan av ln x|<< Förra avsnitt]]}} |
| − | {{Selected tab|[[ | + | {{Selected tab|[[2.7 Grafer och derivator|Genomgång]]}} |
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Ovn.pdf|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Ovn.pdf|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Facit.pdf|Facit]]}} | {{Not selected tab|[[Media: 3.4 Grafer och derivator_Facit.pdf|Facit]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[ | + | {{Not selected tab|[[2.8 Differentialekvationer|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| Rad 70: | Rad 67: | ||
</div> | </div> | ||
| − | Om derivatan <math> \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, </math> är funktionen varken växande eller avtagande för <math> \, x = a | + | Om derivatan <math> \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, </math> är funktionen varken växande eller avtagande för <math> \, x = a </math>, se [[2.7 Grafer och derivator#Lokala maxima och minima|<b><span style="color:blue">Lokala maxima och minima</span></b>]]. |
<div class="ovnE"><small> | <div class="ovnE"><small> | ||
| Rad 96: | Rad 93: | ||
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
'''Lösning:''' | '''Lösning:''' | ||
| Rad 129: | Rad 123: | ||
<td><big> | <td><big> | ||
| − | <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter som har största | + | <i>Lokala maxima</i> och <i>minima</i> är punkter som har största |
resp. minsta funktionsvärden i sin <b><span style="color:red">närmaste omgivning</span></b>. | resp. minsta funktionsvärden i sin <b><span style="color:red">närmaste omgivning</span></b>. | ||
| Rad 137: | Rad 131: | ||
<b><span style="color:red">lokala</span></b> maxima och minima. | <b><span style="color:red">lokala</span></b> maxima och minima. | ||
| − | + | Globala maxima och minima är punkter som har största | |
| − | Se även [[ | + | resp. minsta y-värden i f(x):s hela definitionsområde. |
| + | |||
| + | Se även [[2.7_Grafer_och_derivator#Begreppsf.C3.B6rklaringar|<b><span style="color:blue">Begreppsförklaringar</span></b>]]. | ||
</big></td> | </big></td> | ||
<td><math> \quad </math></td> | <td><math> \quad </math></td> | ||
| Rad 145: | Rad 141: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| + | |||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
För att avgöra vilka <b><span style="color:red">nollställen av derivatan</span></b> som är funktionens maxima och | För att avgöra vilka <b><span style="color:red">nollställen av derivatan</span></b> som är funktionens maxima och | ||
| Rad 150: | Rad 147: | ||
vilka som är minima <math> \ldots \, </math>, undersöker man <b><span style="color:red">derivatans teckenbyte</span></b> i nollställena. | vilka som är minima <math> \ldots \, </math>, undersöker man <b><span style="color:red">derivatans teckenbyte</span></b> i nollställena. | ||
</div> | </div> | ||
| − | <table> | + | |
| + | <big><table> | ||
<tr> <td>Det finns två metoder för att göra denna undersökning: | <tr> <td>Det finns två metoder för att göra denna undersökning: | ||
| Rad 158: | Rad 156: | ||
:* <b><span style="color:#931136">Teckenstudie</span></b> som vi börjar med, | :* <b><span style="color:#931136">Teckenstudie</span></b> som vi börjar med, | ||
| − | :* [[ | + | :* [[2.7 Grafer och derivator#Andraderivata|<b><span style="color:#931136">Andraderivatan</span></b>]] som tas upp längre fram. |
</td> | </td> | ||
</tr> | </tr> | ||
| − | </table> | + | </table></big> |
| − | + | ||
==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med teckenstudie</span></b> ==== | ==== <b><span style="color:#931136">Regler om max/min med teckenstudie</span></b> ==== | ||
<div class="border-divblue"> | <div class="border-divblue"> | ||
| − | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, + \, </math> till <math> \, - \, </math> i <math> \, x = a \ | + | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, + \, </math> till <math> \, - \, </math> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">maximum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>. |
<br><br> | <br><br> | ||
| − | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, - \, </math> till <math> \, + \, </math> i <math> \, x = a \ | + | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> byter tecken från <math> \, - \, </math> till <math> \, + \, </math> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \, x = a \, </math>. |
---- | ---- | ||
| − | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [ | + | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter <b><span style="color:blue">Matte 3c, 3.3. Terasspunkter</span></b>]. |
</div> | </div> | ||
| Rad 197: | Rad 194: | ||
<math> f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; </math> och <math> \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \; x = a \; </math>. | <math> f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; </math> och <math> \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad </math> Funktionen <math> \; y = f(x) \; </math> har ett <b><span style="color:red">minimum</span></b> i <math> \; x = a \; </math>. | ||
---- | ---- | ||
| − | Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt [[ | + | Om <math> \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, </math> kan endast en korrekt [[2.7_Grafer_och_derivator#Regler_om_max.2Fmin_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">teckenstudie</span></b>]] eller <b><span style="color:red"><math> \, f\,'''(a) \, </math></span></b> avgöra saken.<br> |
</div> | </div> | ||
| Rad 228: | Rad 225: | ||
</table> | </table> | ||
| − | I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är | + | I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion <math> \, y = f(x) \, </math> är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd. |
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | ||
| Rad 234: | Rad 231: | ||
| − | OBS! Det finns punkter där derivatan är <math> \, 0 </math>, utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i [ | + | OBS! Det finns punkter där derivatan är <math> \, 0 </math>, utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i [https://matte3c.mathonline.se/index.php?title=3.3_Terasspunkter <b><span style="color:blue">Matte 3c, 3.3. Terasspunkter</span></b>]. |
</big> | </big> | ||
| Rad 251: | Rad 248: | ||
| − | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © | + | [[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2024 <b><span style="color:blue">Lieta AB</span></b>. All Rights Reserved. |
Nuvarande version från 27 november 2024 kl. 14.22
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt >> |
Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning
Växande och avtagande
Det handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
Här används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.
Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:
 |
 |
Regler om en funktions växande och avtagande
Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.
| Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är växande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)
Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)
|
Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \), se Lokala maxima och minima.
Exempel 1 Vinternatt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:
|
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Lösning:
a) För att kunna använda reglerna ovan ställer vi upp derivatan:
- \[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]
- \[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]
För att bestämma derivatans tecken måste vi beräkna derivatans värden för de efterfrågade tiderna:
- \( f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är avtagande vid kl 2.
- \( f'(5) \, = \, 0,48 \cdot 5 - 2,4 \qquad\qquad\! = \, 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är varken växande eller avtagande vid kl 5.
- \( f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = \;\;\, 0,96 > 0 \; \Rightarrow \; \) Temperaturen är växande vid kl 7.
b)
Lokala maxima och minima
|
Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta y-värden i f(x):s hela definitionsområde. Se även Begreppsförklaringar. |
\( \quad \) |  |
För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och
vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.
| Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
|
|
Regler om max/min med teckenstudie
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se Matte 3c, 3.3. Terasspunkter.
En alternativ metod för att skilja mellan funktionens maxima och minima är andraderivatan.
Till skillnad från teckenstudie som klarar sig med första derivatan, måste vi derivera här två gånger.
En fördel med metoden med andraderivatan är dock att den kräver mindre räkning.
Andraderivata
Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( \, f\,''(x) \, \) och läses \( \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, \).
Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.
Det är derivatans nollställen och andraderivatans tecken i derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:
Regler om max/min med andraderivatan
\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \).
\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \).
Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt teckenstudie eller \( \, f\,'''(a) \, \) avgöra saken.
Begreppsförklaringar
 |
Lokala maxima och minima är punkter (•) på kurvan som har största resp. minsta \( \, y\)-
värden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Båda tillsammans heter extrema. Man skiljer mellan extremas \( \, x\)- och \( \, y\)-koordinater: Extremas \( \, x\,\)-koordinater kallas för extrempunkter, på bilden: \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Extremas \( \, {\color{Red} y}\,\)-koordinater kallas för extremvärden, på bilden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \). Här pratar vi om funktionens extrempunkter och extremvärden. På funktionens graf är: minimipunktens koordinater: \( \, (2, 10) \, \) och maximipunktens koordinater: \( \, (4, 22) \, \). Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ. |
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd.
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
OBS! Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i Matte 3c, 3.3. Terasspunkter.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
