|
|
| Rad 9: |
Rad 9: |
| | {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnosprov kap 4]]}} | | {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4.pdf|Diagnosprov kap 4]]}} |
| | {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos]]}} | | {{Not selected tab|[[Media: 4_19_Diagnos_4_Facita.pdf|Facit Diagnos]]}} |
| − | {{Not selected tab|[[Förberedelser för Prov kap 4 Komplexa tal|Nästa lektion >> ]]}} | + | {{Not selected tab|[[Förberedelser för NP Matte 4|Nästa lektion >> ]]}} |
| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| |
| | |} | | |} |
| | | | |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
| + | = <b><span style="color:#931136">Planering</span></b> = |
| | + | <div class="border-divblue"> |
| | <big> | | <big> |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
| + | <b><span style="color:#931136">Vecka 16</span> Se Agendan nedan & börja med [http://mathonline.se/Progr_1/Instud_1_Cs.pdf <span style="color:blue">instuderingsfrågorna</span>]. |
| − | Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
| + | |
| | | | |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| + | <span style="color:#931136">Vecka 17 Tis </span> Repetition: [http://mathonline.se/Progr_1/Instud_1_Cs.pdf <span style="color:blue">Instuderingsfrågor</span>]. |
| − | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
| + | |
| − | </big> | + | |
| | | | |
| − | <table> | + | < span style="color:red"> Vecka 17 Tor (Mån 4/4)< /span> <div class=" smallBoxVariant"><span style="color: red"> Prov kap 4 Komplexa tal</span></ div> |
| − | < tr> <td><div class=" ovnA" > | + | |
| − | <b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
| + | |
| − | <table>
| + | |
| − | <tr>
| + | |
| − | <td><math> \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\
| + | |
| − | x_1 \cdot x_2 & = q
| + | |
| − | \end{align}} </math></td>
| + | |
| − | <td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
| + | |
| − | <td><math> \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\
| + | |
| − | 2 \cdot 3 & = 6 = q
| + | |
| − | \end{align} </math></td>
| + | |
| − | <td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
| + | |
| − | <td><math> \begin{align} p & = -5 \\
| + | |
| − | q & = 6
| + | |
| − | \end{align} </math></td>
| + | |
| − | </tr>
| + | |
| − | </table>
| + | |
| | | | |
| − | Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
| + | <span style="color:#931136">Vecka 18 & 19 </span> Förberedelser för NP Matte 4: Gamla släppta NP</b> |
| | | | |
| − | ::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
| + | <span style="color:#931136">Vecka 20 </span> Ons 18/5 NP Matte 4</b> |
| − | </div></td>
| + | |
| − | <td><math> \qquad </math></td>
| + | |
| − | <td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | :::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\
| + | |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\
| + | |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\
| + | |
| − | x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\
| + | |
| − | x_1 & = & 3 \\
| + | |
| − | x_2 & = & 2
| + | |
| − | \end{array}</math></big></td>
| + | |
| − | </tr>
| + | |
| − | </table>
| + | |
| − | | + | |
| − | <big>
| + | |
| − | Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.
| + | |
| − | | + | |
| − | Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] såg redan på <math>1500</math>-talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.
| + | |
| − | | + | |
| − | == <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
| + | |
| − | | + | |
| − | garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\
| + | |
| − | x_1 \cdot x_2 & = q
| + | |
| − | \end{align}} </math>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel">
| + | |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>
| + | |
| − | | + | |
| − | 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math> \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
| + | |
| − | | + | |
| − | Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi<span style="color:black">:</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math> \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt konjugatregeln <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | Detta bevisar Vietas andra formel.
| + | |
| − | | + | |
| − | ----
| + | |
| − | Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och kan formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
| + | |
| − | ----
| + | |
| − | </div>
| + | |
| | </big> | | </big> |
| − |
| |
| − |
| |
| − | = <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> =
| |
| − | <big>
| |
| − | Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
| |
| − | </big>
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
| |
| − | <!-- <div class="exempel">¨-->
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| |
| − | För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = 10
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
| |
| − |
| |
| − | Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
| |
| − |
| |
| − | Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
| |
| | </div> | | </div> |
| | | | |
| | | | |
| − | == <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
| |
| − | <!-- <div class="exempel">¨-->
| |
| − | <div class="ovnC">
| |
| − | Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
| |
| − | Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = 16
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
| |
| − |
| |
| − | Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
| |
| − |
| |
| − | Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="exempel">
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
| |
| − | <big>
| |
| − | En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter
| |
| − |
| |
| − | att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.
| |
| − |
| |
| − | Ett exempel är:
| |
| − |
| |
| − | :::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
| |
| − |
| |
| − | Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\
| |
| − | x_1 \cdot x_2 & = 2
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer.
| |
| − |
| |
| − | Med p-q formeln får man<span>:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math>\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\
| |
| − | x_2 & = 0,15571123 \\
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | :::<math> \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\
| |
| − | 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − | </big></div>
| |
| | | | |
| | | | |
