Repetition Trigonometri
| Innehållsförteckning | Genomgång rätvinkliga | Övningar | Genomgång godtyckliga | 1.3 Trigon. identiteter >> |
Trigon = Triangel på latin. \( \qquad\qquad\qquad \) Trigonometri = Att mäta trianglar.
1.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)
 |
|
1.2 Trigonometri i godtyckliga trianglar
| << Förra avsnitt: Genomgång rätvinkliga | Formelsamling Trigonometri | Nästa avsnitt >> |
Enhetscirkeln
Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).
Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:
 |
\( \qquad\qquad\quad \) |
\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\
y & = & \sin v
\end{array}\)
|
I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.
Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).
Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)
Exempel:
- \[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]
- \[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]
Förklaring med enhetscirkeln:
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.
 |
Ekvationer
med Sin & Cos:
|
 |
Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar
|
En gång till
Sin & Cos för \( v \geq 90^\circ \) i trianglar:
|
|
Slutsatser
En cosinusekvation har i intervallet \( \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, \) endast en lösning.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
