|
|
| Rad 186: |
Rad 186: |
| | <div class="border-divblue">En <b><span style="color:red">sinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> alltid <b><span style="color:red">två</span></b> lösningar.<br><br> | | <div class="border-divblue">En <b><span style="color:red">sinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> alltid <b><span style="color:red">två</span></b> lösningar.<br><br> |
| | En <b><span style="color:red">cosinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> <b><span style="color:red">endast en</span></b> lösning.</div> | | En <b><span style="color:red">cosinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> <b><span style="color:red">endast en</span></b> lösning.</div> |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">5.4 Triangelsatserna <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 218 </small></small></span></b> ==
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Det finns tre triangelsatser: <b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b>, <b><span style="color:#931136">Sinussatsen</span></b> och <b><span style="color:#931136">Cosinussatsen</span></b>.
| |
| − |
| |
| − | Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
| |
| − |
| |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Areasatsen</span></b></big>
| |
| − |
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns area.
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0b.jpg]]</div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400a.jpg]]</div>
| |
| − |
| |
| − | Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">En triangels area är produkten av <b><span style="color:red">två sidor</span></b>
| |
| − |
| |
| − | och den <b><span style="color:red">mellanliggande vinkelns</span></b> sinus,
| |
| − |
| |
| − | delad med <math> \, 2 \, </math> (<b><span style="color:red">SVS</span></b>-struktur).</div>
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Det omvända problemet:</span></b></big>
| |
| − |
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Arean och två sidor av en triangel.
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Den mellanliggande vinkeln <math> \, v \, </math>.
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400_0c.jpg]]</div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | {{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
| |
| − | </div>
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
| |
| − |
| |
| − | Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">5.5 Sinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 220 / 224-225 </small></small></span></b> ==
| |
| − |
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsen_400.jpg]] </div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">I en triangel är kvoten mellan
| |
| − |
| |
| − | vinklarnas sinus och deras
| |
| − |
| |
| − | motstående sidor lika stor.</div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Exempel på sinussatsen (två lösningar)</span></b> ====
| |
| − |
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Sinussatsens_2_fall_400.jpg]] </div>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 12 Tva trianglar.jpg]] </div>
| |
| − | </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | {{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
| |
| − | </div>
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har [[Kapitel_5_Trigonometri#5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur, dvs:
| |
| − |
| |
| − | Triangelns två sidor <math> \, b = 27 \, </math> och <math> \, c = 35 \, </math> är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot <math> \, b </math>.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">5.6 Cosinussatsen <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 229-230 </small></small></span></b> ==
| |
| − |
| |
| − | <u>Givet:</u> <math> \quad </math> Två sidor och en vinkel i en triangel.
| |
| − |
| |
| − | <u>Sökt:</u> <math> \quad\, </math> Triangelns tredje sida.
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Cosinussatsen_400.jpg]] </div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="border-divblue">Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
| |
| − |
| |
| − | en <math> \cos</math>-term som involverar högerledets
| |
| − |
| |
| − | två sidor och den mellanliggande vinkeln.</div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet<span style="color:black">:</span> <math> \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 </math>. Då försvinner <math> \cos</math>-termen i cosinussatsen.
| |
| − |
| |
| − | När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna ([[Kapitel_5_Trigonometri#5.4_Triangelsatserna_.5C.28_.5Cqquad.5Cqquad.5Cqquad.5C.3B.5C.3B_.5C.29_.C3.96vningar:_.C2.A0_Boken.2C_sid_218|<b><span style="color:blue">SVS</span></b>]]-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: <b><span style="color:red">endast en lösning</span></b>.
| |
| − |
| |
| − | När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har <b><span style="color:red">två lösningar</span></b>, se exemplet nedan.
| |
| − |
| |
| − | <big><b><span style="color:#931136">Samma exempel som [[Kapitel_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<span style="color:blue">ovan</span>]], nu med cosinussatsen</span></b></big>
| |
| − |
| |
| − | <div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_1_400.jpg]] </div><br>
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 13 Ex Cosinussatsen_2_400.jpg]] </div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td> </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | {{#NAVCONTENT:Varför två lösningar?|Varför två lösningar}}
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − | Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[Kapitel_5_Trigonometri#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]].
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">5.7 Användning av trigonometri <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: Boken, sid 232-233 </small></small></span></b> ==
| |
| − | <br>
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 14 Spiraltrappa_750.jpg]]</div>
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | {{#NAVCONTENT:Svar|5.7 Svar fel i 5.7}}
| |
| − | </div>
| |
| − | </td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 233 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-1_400.jpg]] </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | </td>
| |
| − | <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;">[[Image: 233 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-2_400.jpg]] </div></td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">
| |
| − | <table>
| |
| − | <tr>
| |
| − | <td>[[Image: 14_2_Balong_Uppg_450.jpg]]
| |
| − |
| |
| − | ::<math> \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ </math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} </math>
| |
| − |
| |
| − | ::<math> v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ </math></td>
| |
| − | <td>[[Image: 14_2_Balong_Bild_300.jpg]]</td>
| |
| − | </tr>
| |
| − | </table>
| |
| − | :[[Image: 14_2_Balong_Losning_450.jpg]]</div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | </big>
| |
| | | | |
| | | | |
Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:
I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.
Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.
Hämtar...
