Skillnad mellan versioner av "4.5 Absolutbelopp"
Taifun (Diskussion | bidrag) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 52: | Rad 52: | ||
</div> | </div> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Versionen från 11 februari 2025 kl. 10.58
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt >> |
Repetition: Absolutbelopp för reella tal
De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) kallas för absolutbelopp och betyder:
- Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal
- och låta ett positivt tal vara oförändrat.
Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde. Exempel:
|
\( \quad \) |
|
\( \quad \) |
|
Användningar av absolutbelopp
Storheter som till sin natur är positiva. Ex.: avstånd, längd, area, volym,
massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, ålder, varaktighet, antal objekt, \( \, \ldots \; \).
Vi tittar närmare på avstånd:
Avstånd mellan två tal
Avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) är differensen: \( \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \;\; \) Ok!
Avståndet mellan \( -2 \) och \( -5 \) är differensen: \( -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; \) Fel!
Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför:
- \[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:
- \[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]
Generellt gäller:
Absolutbeloppet \( \; | \, a - b \, | \; \) är avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \).
Talens ordning är irrelevant: \( \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)
Specialfall \( \; a \, = \, 0 \, \):
Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från \( \, 0 \, \)
Om vi i uttrycket för avstånd: \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \)
för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:
- \[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, {\color{Red} {| \, 5 \, | \, = \, 5}} \]
Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:
- \[ | -5 - 0 \, | \, = \, {\color{Red} {| -5 \, | \, = \, 5}} \]
\( 5 \, \) är alltså talet \( \, 5\):s och talet \( \, (-5)\):s avstånd från \( 0 \, \).
Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,
även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):
Absolutbeloppet \( \; | \, a \, | \; \) är talet \( a\):s avstånd från 0.
Båda användningar av absolutbelopp: som avståndet från 0 och
som avståndet \( \, | \, a - b \, | \, \) mellan \( \, a \, \) och \( \, b \, \) kan tas över till komplexa tal:
Absolutbelopp för komplexa tal
Allmän definition:
Absolutbelopp av ett komplext tal \( z \, = \, a + b\,i \;\; \) är \( \;\; | \, z \, | \; = \; \sqrt{a^2 + b^2} \; \)
Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.
