Skillnad mellan versioner av "2.5 Derivatan av en kvot: Kvotregeln"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 12: Rad 12:
  
 
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln</span></b> =
 +
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler</span></b> =
 +
<big><big>I följande tabeller är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math>, <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler och <math> \boldsymbol{y = f(x)}</math>.</big></big>
 +
<table><tr><td>
 +
<div class="border-divblue">
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> \boldsymbol{y}\, </math> || <math> \boldsymbol{y\,'} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> 1 \, / \, x </math> ||align=center| <math> - 1 \, / \, x^2 </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} </math>
 +
|}
 +
</div>
 +
</td>
 +
<td> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; </td>
 +
<td>
 +
<div class="border-divblue">
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! <math> \boldsymbol{y}\, </math> || <math> \boldsymbol{y\,'} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> e\,^x </math> ||align=center| <math> e\,^x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> k\cdot e\,^{k\,x} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> C\cdot e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\,^x </math> ||align=center| <math> a\,^x \cdot \ln a </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> C\cdot a\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> \quad C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \quad </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \sin x </math> ||align=center| <math> \cos x </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> \cos x </math> ||align=center| <math> - \sin x </math> 
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(g(x)) </math> ||align=center| <math> f\,'(g(x)) \cdot g\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
|}
 +
</div>
 +
</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 
<big>
 
<big>
 
I följande tabell är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math> och <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler:
 
I följande tabell är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math> och <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler:

Versionen från 20 november 2024 kl. 12.19

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln

Deriveringsregler

I följande tabeller är \( C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 \) konstanter medan \( \boldsymbol{x}\, \), \( \boldsymbol{y}\, \) är variabler och \( \boldsymbol{y = f(x)}\).

\( \boldsymbol{y}\, \) \( \boldsymbol{y\,'} \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( 1 \, / \, x \) \( - 1 \, / \, x^2 \)
\( \sqrt{x} \) \( 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} \)
       
\( \boldsymbol{y}\, \) \( \boldsymbol{y\,'} \)
\( e\,^x \) \( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( \quad C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \quad \)
\( \sin x \) \( \cos x \)
\( \cos x \) \( - \sin x \)
\( f(g(x)) \) \( f\,'(g(x)) \cdot g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)

I följande tabell är \( C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 \) konstanter medan \( \boldsymbol{x}\, \) och \( \boldsymbol{y}\, \) är variabler:

\( \boldsymbol{y}\, \) \( \boldsymbol{y\,'} \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( 1 \, / \, x \) \( - 1 \, / \, x^2 \)
\( \sqrt{x} \) \( 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} \)
\( e\,^x \) \( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( \quad C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \)
\( \sin x \) \( \cos x \)
\( \cos x \) \( - \sin x \)
\( f(g(x)) \) \( f\,'(g(x)) \cdot g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( \, f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( f(x) \cdot g(x)\, \) \( \, f\,'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g\,'(x) \quad \)

Den sista raden i tabellen är produktregeln. Vi ska komplettera tabellen med:

Regeln för derivatan av en kvot av funktioner, den s.k. Kvotregeln (denna lektion) och:

Deriveringsregeln för logaritmen (nästa lektion).


Kvotregeln

3 2 Kvotregeln 1.jpg


Ytterligare exempel

3 2 Kvotregeln 2.jpg









Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=2.5_Derivatan_av_en_kvot:_Kvotregeln&oldid=11005"