|
|
| Rad 14: |
Rad 14: |
| | | | |
| | | | |
| − | = <b><span style="color:#931136">Repetition: Absolutbelopp för reella tal</span></b> = | + | = <b><span style="color:#931136">Punkt som vektor</span></b> = |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | <big><big>De två raka strecken <math> \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; </math> kallas för <b><span style="color:red">absolutbelopp</span></b> och betyder:
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<b><span style="color:red">Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<span style="color:red">och låta ett positivt tal vara oförändrat.</span></b>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ett tals absolutbelopp är talets <b>positiva värde</b>. Exempel:
| + | |
| − | </big></big>
| + | |
| | <div class="ovnE"> | | <div class="ovnE"> |
| − | <table>
| + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_6_Komplexa_vektorer_1.jpg]] |
| − | <tr><td>
| + | |
| − | ::<math> | \, - 7 \, | \, = \, 7 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} </math>
| + | |
| − | </td>
| + | |
| − | <td><math> \quad </math></td>
| + | |
| − | <td>
| + | |
| − | ::<math> | \; 23 \; | \, = \, 23 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 </math>
| + | |
| − | </td>
| + | |
| − | <td><math> \quad </math></td>
| + | |
| − | <td>
| + | |
| − | ::<math> \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | ::<math> | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \;\; {\color{Red} {\text{Varför?}}} </math>
| + | |
| − | </td>
| + | |
| − | </tr>
| + | |
| − | </table>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | = <b><span style="color:#931136">Användning av absolutbelopp</span></b> =
| + | |
| − | <div class="ovnE">
| + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Storheter som till sin natur är <b>positiva</b>. Ex.: avstånd, längd, area,
| + | |
| − | | + | |
| − | volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, <math> \, \ldots \; </math>.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | <big>
| + | |
| − | Vi tittar närmare på avstånd:
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel">
| + | |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Avstånd mellan två tal på den reella tallinjen</span></b> ====
| + | |
| − | | + | |
| − | Avståndet mellan <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> är differensen<span>:</span> <math> \; 5 \, - \, 2 \, = \, 3 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Avståndet mellan <math> -2 </math> och <math> -5 </math> är differensen<span>:</span> <math> -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \;\; </math> <b><span style="color:red">Fel!</span></b>
| + | |
| − | | + | |
| − | Avstånd kan inte vara negativt, måste vara positivt. Därför<span>:</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | :::<math> {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat<span style="color:black">:</span>
| + | |
| − | | + | |
| − | :::<math> { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 </math>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | </big>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | <div class="ovnC">
| + | |
| − | <big>
| + | |
| − | Generellt gäller:
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Absolutbeloppet <math> \; | \, a - b \, | \; </math> är avståndet mellan talen <math> \, a \, </math> och <math> \, b \, </math>.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | Talens ordning är irrelevant<span>:</span> <math> \; | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är <math> \, 0 \, </math>:
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="exempel">
| + | |
| − | ==== <b><span style="color:#931136">Ett tals absolutbelopp = Talets avstånd från <math> \, 0 \, </math></span></b> ====
| + | |
| − | | + | |
| − | Om vi i uttrycket för avstånd<span>:</span> <math> \, | \, a - b \, | \, </math> sätter in <math> a = 0 \, </math> och <math> b = -5 \, </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | för att beräkna avståndet mellan <math> 0 \, </math> och <math> -5 \, </math> får vi:
| + | |
| − | | + | |
| − | :::<math> | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | Och tar vi <math> \, | \, b - a \, | \, </math> blir det samma resultat:
| + | |
| − | | + | |
| − | :::<math> | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math> 5 \, </math> är alltså talet <math> \, 5</math>:s och talet <math> \, (-5)</math>:s avstånd från <math> 0 \, </math>.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal,
| + | |
| − | | + | |
| − | även för komplexa (se exemplet <math> | \, i \, | = 1 </math> ovan och motivera!):
| + | |
| − | | + | |
| − | <div class="border-divblue">
| + | |
| − | Absolutbeloppet <math> \; | \, a \, | \; </math> är talet <math> a</math>:s avstånd från 0.
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | Tolkningen av absolutbeloppet som avståndet från 0 kan tas över till komplexa tal:
| + | |
| − | </big>
| + | |
| − | </div>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | = <b><span style="color:#931136">Absolutbelopp för komplexa tal</span></b> =
| + | |
| − | <div class="ovnE">
| + | |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_5_Absolutbelopp.jpg]] | + | |
| | </div> | | </div> |
| | </div> | | </div> |
