Skillnad mellan versioner av "2.7 Grafer och derivator"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
= <b><span style="color:#931136">Växande och avtagande</span></b> = | = <b><span style="color:#931136">Växande och avtagande</span></b> = | ||
| + | <big> | ||
Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen. | Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen. | ||
| Rad 98: | Rad 99: | ||
Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | Påminnelse: En funktions ''definitionsmängd'' är mängden av alla <math> \, x \, </math> för vilka funktionen är definierad. | ||
</small></div> | </small></div> | ||
| + | </big> | ||
= <b><span style="color:#931136">Lokala maxima och minima</span></b> = | = <b><span style="color:#931136">Lokala maxima och minima</span></b> = | ||
| + | <big> | ||
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Rad 149: | Rad 152: | ||
<math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]]. | <math> f\,'(a) \, = \, 0 \; </math> och <math> \; f\,'(x) \; </math> <b><span style="color:red">byter inte tecken</span></b> i <math> \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, </math> har en <b><span style="color:red">terasspunkt</span></b> i <math> \, x = a </math>, se [[3.3_Terasspunkter#Regeln_om_terasspunkt_med_teckenstudie|<b><span style="color:blue">nästa avsnitt</span></b>]]. | ||
</div> | </div> | ||
| − | + | </big> | |
Versionen från 14 november 2021 kl. 11.42
IND_VAL: v46 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2
| << Förra avsnitt 3.1 | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt 3.5 Differentialekvationer >> |
Derivatan = Kurvans lutning = Tangentens lutning
Växande och avtagande
Kapitel 3 handlar om att använda derivatan som ett verktyg för att få information om själva funktionen.
I detta första avsnitt används derivatan för att få reda på om funktionen växer eller avtar.
Negativ och positiv lutning hos räta linjer och kurvor:
 |
 |
Regler om en funktions växande och avtagande
Det är derivatans tecken (\( \,+\, \) eller \( \,-\, \)) som avgör om en funktion är växande eller avtagande.
| Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är växande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \;. \)
Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) är avtagande för \( \; x = a \; \) om derivatan \( \; f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \;. \)
|
Om derivatan \( \, f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 \, \) är funktionen varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man kan dra då, behandlas i nästa avsnitt.
I exemplen 1-3 visas hur man beräknar för vilka \( \, x \, \) en funktion är växande resp. avtagande.
Exempel 1 Vinternatt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:
|
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
Lokala maxima och minima
| Lektion 23 Lokala maxima och minima I
Lektion 24 Lokala maxima och minima II Lokala maxima och minima är punkter som har största resp. minsta funktionsvärden i sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima. Globala maxima och minima behandlas senare. Se även Begreppsförklaringar. |
\( \quad \) |  |
För att avgöra vilka nollställen av derivatan som är funktionens maxima och
vilka som är minima \( \ldots \, \), undersöker man derivatans teckenbyte i nollställena.
| Det finns två metoder för att göra denna undersökning:
|
|
Regler om max/min med teckenstudie
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) i \( \, x = a \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter inte tecken i \( \, x = a \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, \) har en terasspunkt i \( \, x = a \), se nästa avsnitt.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
