Skillnad mellan versioner av "Repetition Trigonometri"

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Sinus och Cosinus för \( \, v \, < \, 90^\circ \)

Godtyckliga trianglar

Enhetscirkeln

Enhetscirkeln är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).

Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:

\( \qquad\qquad\quad \)

\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\ y & = & \sin v \end{array}\)

I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, \) och \( \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y \), precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).

Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)

Exempel:

\[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} \]

\[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} \]

Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).

Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.

Ekvationer           med    Sin & Cos:

Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar

En gång till      Sin & Cos   för \( v \geq 90^\circ \)    i trianglar:

Slutsatser