Skillnad mellan versioner av "2.5 Derivatan av en kvot: Kvotregeln"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(8 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 12: Rad 12:
  
 
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln</span></b> =
 
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln</span></b> =
−
= <b><span style="color:#931136">Deriveringsregler</span></b> =
 
 
<big><big>I följande tabeller är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math>, <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler och <math> \boldsymbol{y = f(x)}</math>.</big></big>
 
<big><big>I följande tabeller är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math>, <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler och <math> \boldsymbol{y = f(x)}</math>.</big></big>
 
<table><tr><td>
 
<table><tr><td>
Rad 39: Rad 38:
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} </math>  
 
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} </math>  
 +
|-
 +
| align=center| <math> e\,^x </math> ||align=center| <math> e\,^x </math> 
 
|}
 
|}
 
</div>
 
</div>
Rad 47: Rad 48:
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
! <math> \boldsymbol{y}\, </math> || <math> \boldsymbol{y\,'} </math>
+
! <math> \boldsymbol{y}\, </math> || <math> \boldsymbol{y\,'} </math>
−
|-
+
−
| align=center| <math> e\,^x </math> ||align=center| <math> e\,^x </math>  
+
 
|-
 
|-
 
| align=center| <math> e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> k\cdot e\,^{k\,x} </math>  
 
| align=center| <math> e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> k\cdot e\,^{k\,x} </math>  
Rad 67: Rad 66:
 
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>  
 
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>  
+
| align=center| <math> f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
 +
|-
 +
| align=center| <math> f(x) \cdot g(x)\, </math> ||align=center| <math> \, f\,'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g\,'(x) \quad </math>  
 
|}
 
|}
 
</div>
 
</div>
 +
 +
 
</td>  
 
</td>  
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
−
<big>
+
<big><big>
−
I följande tabell är <math> C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 </math> konstanter medan <math> \boldsymbol{x}\, </math> och <math> \boldsymbol{y}\, </math> är variabler:
+
Den  sista raden i tabellen till höger är produktregeln som kommit till.  
−
 
+
−
<div class="border-divblue">
+
−
{| class="wikitable"
+
−
|-
+
−
! <math> \boldsymbol{y}\, </math> || <math> \boldsymbol{y\,'} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> c\, </math> ||align=center| <math> 0\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> x\, </math> ||align=center| <math> 1\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> a\; x </math> ||align=center| <math> a\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> k\; x \, + \, m </math> ||align=center| <math> k\, </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> x^2\, </math> ||align=center| <math> 2\,x </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> a\,x^2 </math> ||align=center| <math> 2\,a\,x </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> x^n\, </math> ||align=center| <math> n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> a\,x\,^n </math> ||align=center| <math> a\cdot n\cdot x\,^{n-1} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> 1 \, / \, x </math> ||align=center| <math> - 1 \, / \, x^2 </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \sqrt{x} </math> ||align=center| <math> 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> e\,^x </math> ||align=center| <math> e\,^x </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> k\cdot e\,^{k\,x} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> C\cdot e\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> a\,^x </math> ||align=center| <math> a\,^x \cdot \ln a </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> C\cdot a\,^{k\,x} </math> ||align=center| <math> \quad C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \sin x </math> ||align=center| <math> \cos x </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \cos x </math> ||align=center| <math> - \sin x </math> 
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> f(g(x)) </math> ||align=center| <math> f\,'(g(x)) \cdot g\,'(x) </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> a\cdot f(x) </math> ||align=center| <math> a\cdot f\,'(x) </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> \, f(x) + g(x)\, </math> ||align=center| <math> f\,'(x) + g\,'(x) </math>
+
−
|-
+
−
| align=center| <math> f(x) \cdot g(x)\, </math> ||align=center| <math> \, f\,'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g\,'(x) \quad </math>
+
−
|}
+
−
</div>
+
−
Den  sista raden i tabellen är produktregeln. Vi ska komplettera tabellen med:
+
  
−
Regeln för derivatan av en kvot av funktioner, den s.k. <b><span style="color:red">Kvotregeln</span></b> (denna lektion) och:
+
Vi ska komplettera tabellerna med regeln för derivatan av en kvot av funktioner,  
  
−
Deriveringsregeln för logaritmen (nästa lektion).
+
den s.k. <b><span style="color:red">Kvotregeln</span></b> (denna lektion) och deriveringsregeln för logaritmen (nästa lektion).
−
</big>
+
</big></big>
  
  

Nuvarande version från 20 november 2024 kl. 12.30

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Deriveringsregler uppdaterade med produktregeln

I följande tabeller är \( C,\,c,\,k,\,m,\,n,\,a > 0 \) konstanter medan \( \boldsymbol{x}\, \), \( \boldsymbol{y}\, \) är variabler och \( \boldsymbol{y = f(x)}\).

\( \boldsymbol{y}\, \) \( \boldsymbol{y\,'} \)
\( c\, \) \( 0\, \)
\( x\, \) \( 1\, \)
\( a\; x \) \( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \) \( k\, \)
\( x^2\, \) \( 2\,x \)
\( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( 1 \, / \, x \) \( - 1 \, / \, x^2 \)
\( \sqrt{x} \) \( 1 \, / \, 2\, \sqrt{x} \)
\( e\,^x \) \( e\,^x \)
       
\( \boldsymbol{y}\, \) \( \boldsymbol{y\,'} \)
\( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( \quad C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \quad \)
\( \sin x \) \( \cos x \)
\( \cos x \) \( - \sin x \)
\( f(g(x)) \) \( f\,'(g(x)) \cdot g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
\( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( f(x) \cdot g(x)\, \) \( \, f\,'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g\,'(x) \quad \)


Den sista raden i tabellen till höger är produktregeln som kommit till.

Vi ska komplettera tabellerna med regeln för derivatan av en kvot av funktioner,

den s.k. Kvotregeln (denna lektion) och deriveringsregeln för logaritmen (nästa lektion).


Kvotregeln

3 2 Kvotregeln 1.jpg


Ytterligare exempel

3 2 Kvotregeln 2.jpg









Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=2.5_Derivatan_av_en_kvot:_Kvotregeln&oldid=11014"