Skillnad mellan versioner av "Repetition Trigonometri"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (16 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 13: | Rad 13: | ||
<big> | <big> | ||
| − | == <b><span style="color:#931136"><i>Trigon</i> = Triangel på latin. <math> \qquad\qquad\qquad </math> <i>Trigonometri</i> = Att mäta trianglar.</span></b> == | + | === <b><span style="color:#931136"><i>Trigon</i> = Triangel på latin. <math> \qquad\qquad\qquad\qquad </math> <i>Trigonometri</i> = Att mäta trianglar.</span></b> === |
| − | |||
== <b><span style="color:#931136">1.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar</span></b> == | == <b><span style="color:#931136">1.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar</span></b> == | ||
| Rad 24: | Rad 23: | ||
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 1 Tangens_55.jpg]] </div> | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 1 Tangens_55.jpg]] </div> | ||
| + | |||
| + | Se även [[Repetition_Trigonometri#Sinus.2C_Cosinus_och_Tangens_f.C3.B6r_alla_vinklar|<b><span style="color:blue">längre ned</span></b>]]. | ||
| Rad 77: | Rad 78: | ||
| − | + | === <b><span style="color:#931136">Enhetscirkeln</span></b> === | |
| − | + | är cirkeln med radien <math> \, r \, = \, 1 \, </math> och medelpunkten <math> \, M \, = \, O \, </math> (origo). | |
| − | + | ||
Om en punkt <math> \, P\,(x, y) \, </math> snurrar på enhetscirkeln och <math> \, v \, </math> är vinkeln mellan <math> \, x</math>-axeln och <math> \, \overline{OP} </math>, så gäller<span style="color:black">:</span> | Om en punkt <math> \, P\,(x, y) \, </math> snurrar på enhetscirkeln och <math> \, v \, </math> är vinkeln mellan <math> \, x</math>-axeln och <math> \, \overline{OP} </math>, så gäller<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 102: | Rad 102: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| − | I cirklar med radien <math> \, r \, > \, 1 \, </math> förblir vinkeln <math> \, v \, </math> den samma och därmed <math> \, \cos v = | + | I cirklar med radien <math> \, r \, > \, 1 \, </math> förblir vinkeln <math> \, v \, </math> den samma och därmed <math> \, \cos v = (r \cdot x) / r = x \, </math> och <math> \, \sin v = (r \cdot y) / r = y </math>, precis som ovan. |
| + | |||
| + | Dvs formlerna för <math> \, x = \cos v \, </math> och <math> \, y = \sin v \, </math> stämmer fortfarande, även om <math> \, r \, > \, 1 \, </math>. | ||
| − | + | De här formlerna används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar <math> \, v \, \geq \, 90^\circ \, </math>. | |
<br> | <br> | ||
| Rad 110: | Rad 112: | ||
Exempel<span style="color:black">:</span> | Exempel<span style="color:black">:</span> | ||
| − | :::<math> \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, | + | :::<math> \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, 1 / 2 </math> |
| − | :::<math> \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, - | + | :::<math> \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -(1 / 2) </math> |
Förklaring med enhetscirkeln: | Förklaring med enhetscirkeln: | ||
| Rad 162: | Rad 164: | ||
| − | + | === <b><span style="color:#931136">Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar</span></b> === | |
<table> | <table> | ||
<tr> | <tr> | ||
Nuvarande version från 18 september 2024 kl. 22.13
| Innehållsförteckning | Genomgång rätvinkliga | Övningar | Genomgång godtyckliga | 1.3 Trigon. identiteter >> |
Trigon = Triangel på latin. \( \qquad\qquad\qquad\qquad \) Trigonometri = Att mäta trianglar.
1.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
Tangens för \( \, v \, < \, 90^\circ \)
 Se även längre ned.
 |
|
1.2 Trigonometri i godtyckliga trianglar
| << Förra avsnitt: Genomgång rätvinkliga | Formelsamling Trigonometri | Nästa avsnitt >> |
Enhetscirkeln
är cirkeln med radien \( \, r \, = \, 1 \, \) och medelpunkten \( \, M \, = \, O \, \) (origo).
Om en punkt \( \, P\,(x, y) \, \) snurrar på enhetscirkeln och \( \, v \, \) är vinkeln mellan \( \, x\)-axeln och \( \, \overline{OP} \), så gäller:
 |
\( \qquad\qquad\quad \) |
\(\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\
y & = & \sin v
\end{array}\)
|
I cirklar med radien \( \, r \, > \, 1 \, \) förblir vinkeln \( \, v \, \) den samma och därmed \( \, \cos v = (r \cdot x) / r = x \, \) och \( \, \sin v = (r \cdot y) / r = y \), precis som ovan.
Dvs formlerna för \( \, x = \cos v \, \) och \( \, y = \sin v \, \) stämmer fortfarande, även om \( \, r \, > \, 1 \, \).
De här formlerna används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar \( \, v \, \geq \, 90^\circ \, \).
Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: \( \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ \)
Exempel:
- \[ \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, 1 / 2 \]
- \[ \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -(1 / 2) \]
Förklaring med enhetscirkeln:
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, y\)-koordinat (\(=\sin v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \).
Punkten till vinkeln \( \, v \, \) har samma \( \, x\)-koordinat (\(=\cos v\)) som punkten till vinkeln \( \, 180-v \, \) med omvänt tecken.
 |
Ekvationer
med Sin & Cos:
|
 |
Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar
|
En gång till
Sin & Cos för \( v \geq 90^\circ \) i trianglar:
|
|
Slutsatser
En cosinusekvation har i intervallet \( \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, \) endast en lösning.
Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.
