Skillnad mellan versioner av "4.15 Polynomdivision"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 48: | Rad 48: | ||
Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra: | Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra: | ||
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad a = 1 </math> | + | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad\qquad a = 1 </math> |
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span> | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span> | ||
Versionen från 25 mars 2022 kl. 11.54
IND_VAL: v13 I, tis kl 11.15-12.20, sal 10. Övningar 4417-4426.
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt >> |
Dividera \( \; x^3 - 6 x^2 - x + 6 \; \) med \( \; x - 1 \)
Alternativ metod för polynomdivision: Jämförelse av koefficienter
Uppgift: \( \qquad \) Utför polynomdivisionen \( \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \)
En annan formulering av uppgiften är:
Hitta ett 2:a gradspolynom \( \, Q(x)\, \) så att \( \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \)
Lösning:
Vi inför beteckningen: \( \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \).
\( Q(x)\, \) kan skrivas så här (Ansats): \( \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \)
Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) \):
- \[\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\ & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\ & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\ & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\ P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{array} \]
Koefficienterna till polynomen \( \; Q(x) \cdot (x - 2) \; \) och \( \; P(x) \; \) jämförs med varandra:
Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger: \( \qquad\qquad a = 1 \)
Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\ -2\cdot 1 + b & = 4 \\ - 2 + b & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\ -2\cdot 6 + c & = 1 \\ -12 + c & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \, \)-termen bekräftar värdet på \( c \, \):
- \[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed: \( \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \)
Alltså är: \( \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13\)
Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.
