Skillnad mellan versioner av "1.15 Tillämpningar och problemlösning"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
Rad 15: | Rad 15: | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
=== <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> === | === <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> === | ||
− | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 14 Spiraltrappa | + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 14 Spiraltrappa 800a.jpg]] </div> |
</div> | </div> | ||
Versionen från 28 september 2024 kl. 13.57
<< Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Innehållsförteckning |
Användning av trigonometri
Höjden av en ballong
Triangelsatserna
Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.
Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:
Areasatsen
Givet: Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.
Sökt: Triangelns area.
|
Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar): En triangels area är produkten av två sidor
och den mellanliggande vinkelns sinus, delad med 2 (SVS-struktur). |
Det omvända problemet:
Givet: Arean och två sidor av en triangel.
Sökt: Den mellanliggande vinkeln v.
|
Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:
Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.
Sinussatsen
Givet: Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.
Sökt: Triangelns tredje sida eller två andra sidor.
I en triangel är kvoten mellan
vinklarnas sinus och deras motstående sidor lika stor. |
Exempel på sinussatsen (två lösningar)
Givet: Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).
Sökt: Triangelns tredje sida.
|
|
Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:
Triangelns två sidor b=27 och c=35 är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot b.
Cosinussatsen
Givet: Två sidor och en vinkel i en triangel.
Sökt: Triangelns tredje sida.
Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med
en cos-term som involverar högerledets två sidor och den mellanliggande vinkeln. |
Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: A,B,ellerC=90∘⇒cos90∘=0. Då försvinner cos-termen i cosinussatsen.
När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.
När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.
Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen
|
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.