|
|
| Rad 12: |
Rad 12: |
| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| |
| | |} | | |} |
| − |
| |
| − |
| |
| − | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal med rest <math> \; \neq 0 </math></span></b> =
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_800.jpg]] </div>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal utan rest</span></b> =
| |
| − | <div class="ovnE">
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_Rest_0.jpg]] </div>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av polynom utan rest</span></b> =
| |
| − | <div class="ovnC">
| |
| − | == <b><span style="color:#931136">Dividera <math> \; x^3 - 6 x^2 - x + 6 \; </math> med <math> \; x - 1 </math></span></b> ==
| |
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Polynomdiva.jpg]] </div>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | = <b><span style="color:#931136">Alternativ metod för polynomdivision utan rest: Jämförelse av koefficienter</span></b> =
| |
| − | <div class="ovnA">
| |
| − | <big>
| |
| − | '''Uppgift:''' <math> \qquad </math> Utför polynomdivisionen <math> \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math>
| |
| − |
| |
| − | En annan formulering av uppgiften är:
| |
| − |
| |
| − | Hitta ett 2:a gradspolynom <math> \, Q(x)\, </math> så att <math> \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) </math>
| |
| − |
| |
| − | '''Lösning:'''
| |
| − |
| |
| − | Vi inför beteckningen<span>:</span> <math> \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>.
| |
| − |
| |
| − | <math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här (Ansats)<span>:</span> <math> \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>
| |
| − |
| |
| − | Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) </math><span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\
| |
| − | & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\
| |
| − | & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\
| |
| − | & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\
| |
| − | P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
| |
| − | \end{array} </math>
| |
| − |
| |
| − | Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra:
| |
| − |
| |
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad\qquad a = 1 </math>
| |
| − |
| |
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\
| |
| − | -2\cdot 1 + b & = 4 \\
| |
| − | - 2 + b & = 4 \\
| |
| − | b & = 6 \\
| |
| − | \end{align} </math>
| |
| − |
| |
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\
| |
| − | -2\cdot 6 + c & = 1 \\
| |
| − | -12 + c & = 1 \\
| |
| − | c & = 13 \\
| |
| − | \end{align} </math>
| |
| − |
| |
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \, </math>-termen bekräftar värdet på <math> c \, </math><span style="color:black">:</span>
| |
| − |
| |
| − | ::<math>\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\
| |
| − | c & = 13 \\
| |
| − | \end{align} </math>
| |
| − |
| |
| − | Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed<span style="color:black">:</span> <math> \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Alltså är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13</math>
| |
| − | </big>
| |
| − | </div>
| |
| | | | |
| | | | |
