Skillnad mellan versioner av "4.16 Faktorsatsen"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(17 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
−
IND_VAL: v14 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_16_Faktorsatsen_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4429-4440</span></b>]].
 
−
 
−
 
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
Rad 9: Rad 6:
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_16 Faktorsatsen_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_16 Faktorsatsen_Ovn.pdf|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_16 Faktorsatsen_Facit.pdf|Facit]]}}
 
{{Not selected tab|[[Media: 4_16 Faktorsatsen_Facit.pdf|Facit]]}}
−
{{Not selected tab|[[4.16 Faktorsatsen|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
+
{{Not selected tab|[[4.17 Polynomekvationer av högre grad|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal med rest <math> \; \neq 0 </math></span></b> =
+
= <b><span style="color:#931136">Manuell division av polynom med rest <math> \; \neq 0 </math></span></b> =
−
<div class="ovnE">
+
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_800.jpg]] </div>
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
= <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal utan rest</span></b> =
+
−
<div class="ovnE">
+
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_Rest_0.jpg]] </div>
+
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
= <b><span style="color:#931136">Manuell division av polynom utan rest</span></b> =
+
 
<div class="ovnC">
 
<div class="ovnC">
−
== <b><span style="color:#931136">Dividera <math> \; x^3 - 6 x^2 - x + 6 \; </math> med <math> \; x - 1 </math></span></b> ==
+
== <b><span style="color:#931136">Dividera <math> \; x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24 \; </math> med <math> \; x^2 - 2 x - 12 </math></span></b> ==
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Polynomdiva.jpg]] </div>
+
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_16 Faktorsatsen_Rest.jpg]] </div>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Alternativ metod för polynomdivision utan rest: Jämförelse av koefficienter</span></b> =
 
−
<div class="ovnA">
 
 
<big>
 
<big>
−
'''Uppgift:''' <math> \qquad </math> Utför polynomdivisionen <math> \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Faktorsatsen</span></b> ==
−
 
+
<div class="border-divblue">
−
En annan formulering av uppgiften är:
+
<b>
−
 
+
Polynomet <math> \; f(x) \; </math> har &nbsp; <span style="color:red">faktorn</span> <math> \, (x - a) \quad \iff \quad f\,(a) \, = \, 0 </math>
−
Hitta ett 2:a gradspolynom <math> \, Q(x)\, </math> så att <math> \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) </math>
+
</b>
−
 
+
−
'''Lösning:'''
+
−
 
+
−
Vi inför beteckningen<span>:</span> <math> \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 </math>.
+
−
 
+
−
<math> Q(x)\, </math> kan skrivas så här (Ansats)<span>:</span> <math> \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c </math>
+
−
 
+
−
Vi bestämmer koefficienterna <math> a\, , \, b\, </math> och <math> c\, </math> så att <math> \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) </math><span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
::<math>\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\
+
−
                                              & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c                      & = \\
+
−
                                              & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c                        & = \\
+
−
                                              & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 &  \\
+
−
                            P(x)              & = & 1 \cdot x^3  + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2  + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0
+
−
\end{array} </math>
+
−
 
+
−
Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra:
+
−
 
+
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad\qquad a = 1 </math>
+
−
 
+
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
::<math>\begin{align} -2\,a + b    & = 4  \\
+
−
                      -2\cdot 1 + b & = 4  \\
+
−
                            - 2 + b & = 4  \\
+
−
                                  b & = 6  \\
+
−
        \end{align} </math>
+
−
 
+
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^1 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
::<math>\begin{align} -2\,b + c & = 1  \\
+
−
                  -2\cdot 6 + c & = 1  \\
+
−
                        -12 + c & = 1  \\
+
−
                              c & = 13  \\
+
−
        \end{align} </math>
+
−
 
+
−
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^0 \, </math>-termen bekräftar värdet på <math> c \, </math><span style="color:black">:</span>
+
−
 
+
−
::<math>\begin{align} - 2\,c & = - 26  \\
+
−
                          c & = 13    \\
+
−
        \end{align} </math>
+
−
 
+
−
Vi får <math> a = 1\, , \, b = 6\, </math> och <math> c = 13\, </math> och därmed<span style="color:black">:</span> <math> \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 </math>
+
−
 
+
−
 
+
−
Alltså är<span style="color:black">:</span> <math> \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13</math>
+
−
</big>
+
 
</div>
 
</div>
  
  
−
= <b><span style="color:#931136">Manuell division av polynom med rest <math> \; \neq 0 </math></span></b> =
+
== <b><span style="color:#931136">Restsatsen</span></b> ==
−
<div class="ovnC">
+
<div class="border-divblue">
−
== <b><span style="color:#931136">Dividera <math> \; x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24 \; </math> med <math> \; x^2 - 2 x - 12 </math></span></b> ==
+
<b>
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Polynomdiv_Rest.jpg]] </div>
+
Polynomet <math> \; f(x) \; </math> divideras med &nbsp; <span style="color:red">faktorn</span> <math> \, (x - a) \quad \implies \quad </math> resten blir <math> \; f\,(a) </math>
 +
</b>
 
</div>
 
</div>
  
  
−
 
+
Exempel: Se [[Media: 4_16_Faktorsatsen_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4429-4440</span></b>]].
−
 
+
</big>
−
 
+
  
  

Nuvarande version från 8 april 2025 kl. 13.00

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Nästa avsnitt  >>      


Manuell division av polynom med rest \( \; \neq 0 \)

Dividera \( \; x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24 \; \) med \( \; x^2 - 2 x - 12 \)

4 16 Faktorsatsen Rest.jpg


Faktorsatsen

Polynomet \( \; f(x) \; \) har   faktorn \( \, (x - a) \quad \iff \quad f\,(a) \, = \, 0 \)


Restsatsen

Polynomet \( \; f(x) \; \) divideras med   faktorn \( \, (x - a) \quad \implies \quad \) resten blir \( \; f\,(a) \)


Exempel: Se Övningar 4429-4440.







Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=4.16_Faktorsatsen&oldid=11395"