Skillnad mellan versioner av "4.15 Polynomdivision"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (14 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| Rad 9: | Rad 6: | ||
{{Not selected tab|[[Media: 4_15_Polynomdiv_Ovn.pdf|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[Media: 4_15_Polynomdiv_Ovn.pdf|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[Media: 4_15_Polynomdiv_Facit.pdf|Facit]]}} | {{Not selected tab|[[Media: 4_15_Polynomdiv_Facit.pdf|Facit]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[4. | + | {{Not selected tab|[[4.16 Faktorsatsen|Nästa avsnitt >> ]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| − | = <b><span style="color:#931136"> | + | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal med rest <math> \; \neq 0 </math></span></b> = |
| + | <div class="ovnE"> | ||
| + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_800.jpg]] </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av heltal utan rest</span></b> = | ||
<div class="ovnE"> | <div class="ovnE"> | ||
| − | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: | + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Man_div_heltal_Rest_0.jpg]] </div> |
</div> | </div> | ||
| − | = <b><span style="color:#931136"> | + | = <b><span style="color:#931136">Manuell division av polynom utan rest</span></b> = |
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
| + | == <b><span style="color:#931136">Dividera <math> \; x^3 - 6 x^2 - x + 6 \; </math> med <math> \; x - 1 </math></span></b> == | ||
| + | <div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_15_Polynomdiva.jpg]] </div> | ||
| + | </div> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | = <b><span style="color:#931136">Jämförelse av koefficienter, en alternativ metod för polynomdivision utan rest</span></b> = | ||
| + | <div class="ovnA"> | ||
<big> | <big> | ||
'''Uppgift:''' <math> \qquad </math> Utför polynomdivisionen <math> \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math> | '''Uppgift:''' <math> \qquad </math> Utför polynomdivisionen <math> \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) </math> | ||
| Rad 48: | Rad 56: | ||
Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra: | Koefficienterna till polynomen <math> \; Q(x) \cdot (x - 2) \; </math> och <math> \; P(x) \; </math> jämförs med varandra: | ||
| − | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad a = 1 </math> | + | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^3 </math>-termen ger<span>:</span> <math> \qquad\qquad a = 1 </math> |
Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span> | Jämförelse av koefficienterna till <math> x^2 </math>-termen ger<span style="color:black">:</span> | ||
| Rad 79: | Rad 87: | ||
</div> | </div> | ||
| + | |||
| + | [[Media: 4_15_Polynomdiv_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4417-4426</span></b>]] | ||
Nuvarande version från 2 april 2025 kl. 07.49
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Facit | Nästa avsnitt >> |
Manuell division av heltal med rest \( \; \neq 0 \)
Manuell division av heltal utan rest
Manuell division av polynom utan rest
Dividera \( \; x^3 - 6 x^2 - x + 6 \; \) med \( \; x - 1 \)
Jämförelse av koefficienter, en alternativ metod för polynomdivision utan rest
Uppgift: \( \qquad \) Utför polynomdivisionen \( \quad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \)
En annan formulering av uppgiften är:
Hitta ett 2:a gradspolynom \( \, Q(x)\, \) så att \( \, Q(x)\cdot (x-2) = (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \)
Lösning:
Vi inför beteckningen: \( \quad\;\;\, P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \).
\( Q(x)\, \) kan skrivas så här (Ansats): \( \qquad Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \)
Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( \; Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) \):
- \[\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\ & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\ & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\ & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\ P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{array} \]
Koefficienterna till polynomen \( \; Q(x) \cdot (x - 2) \; \) och \( \; P(x) \; \) jämförs med varandra:
Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger: \( \qquad\qquad a = 1 \)
Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\ -2\cdot 1 + b & = 4 \\ - 2 + b & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\ -2\cdot 6 + c & = 1 \\ -12 + c & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \, \)-termen bekräftar värdet på \( c \, \):
- \[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed: \( \quad Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \)
Alltså är: \( \qquad (x^3 + 4\,x^2 + x - 26) \; / \; (x-2) \; = \; x^2 + 6 \, x + 13\)
Copyright © 2022 TechPages AB. All Rights Reserved.
