Skillnad mellan versioner av "1.15 Tillämpningar och problemlösning"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(12 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 12: Rad 12:
  
  
 +
= <b><span style="color:#931136">Användning av trigonometri <!-- <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 232-233 </small></small> --> </span></b> =
 +
<div class="ovnE">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> ===
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 14 Spiraltrappa 800a.jpg]] </div>
 +
</div>
 +
 +
 +
<div class="ovnE">
 +
{{#NAVCONTENT:Lösning|Lösning på fel i Oljetank med spiraltrappa}}
 +
</div>
 +
 +
 +
<div class="ovnC">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Höjden av en ballong</span></b> ===
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">  
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">  
 
<table>
 
<table>
Rad 24: Rad 38:
  
 
::<math> v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ </math></td>
 
::<math> v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ </math></td>
−
   <td>[[Image: 14_2_Balong_Bild_300.jpg]]</td>
+
   <td>[[Image: 14_2_Balong_Bild_300.jpg]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 
:[[Image: 14_2_Balong_Losning_450.jpg]]</div>
 
:[[Image: 14_2_Balong_Losning_450.jpg]]</div>
 +
</div>
 +
 +
 +
<div class="ovnA">
 +
=== <b><span style="color:#931136">Femhörningens area</span></b> ===
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 14_3 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-1_400.jpg]] </div>
 +
</div>
  
  
 
<big>
 
<big>
 
<br>
 
<br>
 +
== <b><span style="color:#931136">Repetition från Matte 3c</span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Triangelsatserna <!-- <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 218 </small></small> --> </span></b> ==
 
== <b><span style="color:#931136">Triangelsatserna <!-- <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 218 </small></small> --> </span></b> ==
  
Rad 56: Rad 83:
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400a.jpg]]</div>
 
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 11 Areasatsen_400a.jpg]]</div>
  
−
&nbsp; Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
+
&nbsp; <b>Areasatsen</b> i vanliga ord (utan beteckningar):
  
 
<div class="border-divblue">En triangels area är produkten av <b><span style="color:red">två sidor</span></b>
 
<div class="border-divblue">En triangels area är produkten av <b><span style="color:red">två sidor</span></b>
Rad 116: Rad 143:
  
  
−
Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):
+
<b>Sinussatsen</b> i vanliga ord (utan beteckningar):
  
 
<div class="border-divblue">I en triangel är kvoten mellan
 
<div class="border-divblue">I en triangel är kvoten mellan
Rad 272: Rad 299:
  
 
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[1.15 Tillämpningar och problemlösning#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]].
 
Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se [[1.15 Tillämpningar och problemlösning#Exempel_p.C3.A5_sinussatsen_.28tv.C3.A5_l.C3.B6sningar.29|<b><span style="color:blue">ovan</span></b>]].
−
 
−
 
−
== <b><span style="color:#931136">Användning av trigonometri <!-- <math> \qquad\qquad\;\; </math> <small><small>Övningar: &nbsp; Boken, sid 232-233 </small></small> --> </span></b> ==
 
 
</big>
 
</big>
−
<div class="ovnE">
 
−
=== <b><span style="color:#931136">Oljetank med spiraltrappa</span></b> ===
 
−
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 14 Spiraltrappa 800.jpg]] </div>
 
−
</div>
 
  
  
−
<div class="ovnE">
+
<div class="ovnC">
−
{{#NAVCONTENT:Lösning|Lösning på fel i Oljetank med spiraltrappa}}
+
=== <b><span style="color:#931136">Klippans höjd</span></b> ===
 +
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;">[[Image: 14_4 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-2_400.jpg]] </div>
 
</div>
 
</div>
−
 
−
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;">[[Image: 14_3 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-1_400.jpg]] </div>
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
</td>
 
−
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;">[[Image: 14_4 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-2_400.jpg]] </div></td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
  
  

Nuvarande version från 30 september 2024 kl. 14.15

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Facit          Innehållsförteckning      


Användning av trigonometri

Oljetank med spiraltrappa

14 Spiraltrappa 800a.jpg


Lösning
Lösning på fel i Oljetank med spiraltrappa


Höjden av en ballong

14 2 Balong Uppg 450.jpg
\[ \underline{\rm Lösning:} \quad {\rm Vi\;ritar\;figuren\;till\;höger\;(modellering).} \]
\[{\rm Sidovinkeln} \quad u \, = \, 180^\circ - 72,5^\circ \, = \, 107,5^\circ \]
\[{\rm Vinkelsumman\;i\;triangeln\;} ABC {\rm \;ger} \]
\[ v \, = \, 180^\circ - 56,4^\circ - 107,5^\circ\, = \, 16,1^\circ \]
 14 2 Balong Bild 300.jpg



14 2 Balong Losning 450.jpg


Femhörningens area

14 3 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-1 400.jpg



Repetition från Matte 3c

Triangelsatserna

Det finns tre triangelsatser: Areasatsen, Sinussatsen och Cosinussatsen.

Triangelsatsernas formulering baseras på de standardbeteckningar för trianglar som införs här:

Areasatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns area.

11 Areasatsen 400 0b.jpg


       
11 Areasatsen 400a.jpg

  Areasatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

En triangels area är produkten av två sidor

och den mellanliggande vinkelns sinus,

delad med \( \, 2 \, \) (SVS-struktur).

Det omvända problemet:

Givet: \( \quad \) Arean och två sidor av en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Den mellanliggande vinkeln \( \, v \, \).

11 Areasatsen 400 0c.jpg
     




Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Det geometriska problemet har två lösningar. Areasatsen ger båda:

Areasatsen leder till en sinusekvation som pga sina två lösningar resulterar i två vinklar och därmed två trianglar.


Sinussatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel eller två vinklar och en sida i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida eller två andra sidor.

12 Sinussatsen 400.jpg
         





Sinussatsen i vanliga ord (utan beteckningar):

I en triangel är kvoten mellan

vinklarnas sinus och deras

motstående sidor lika stor.

Exempel på sinussatsen (två lösningar)

Givet: \( \quad \) Två sidor och den vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur).

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

12 Sinussatsens 2 fall 400.jpg
  









12 Tva trianglar.jpg












Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Att det finns två lösningar (två trianglar) beror på att problemet inte har SVS-struktur, dvs:

Triangelns två sidor \( \, b = 27 \, \) och \( \, c = 35 \, \) är givna, men inte den mellanliggande vinkeln, utan den som ligger mittemot \( \, b \).


Cosinussatsen

Givet: \( \quad \) Två sidor och en vinkel i en triangel.

Sökt: \( \quad\, \) Triangelns tredje sida.

13 Cosinussatsen 400.jpg
    




Cosinussatsen utvidgar Pythagoras med

en \( \cos\)-term som involverar högerledets

två sidor och den mellanliggande vinkeln.

Pythagoras är ett specialfall av cosinussatsen för fallet: \( \; A , B , {\rm eller\;} C \, = \, 90^\circ \; \Rightarrow \; \cos 90^\circ \, = \, 0 \). Då försvinner \( \cos\)-termen i cosinussatsen.

När två sidor och den mellanliggande vinkeln i en triangel är givna (SVS-struktur), ger cosinussatsen den tredje sidan som roten ur högerledet: endast en lösning.

När två sidor är givna samt en vinkel som inte ligger mellan dem (icke-SVS-struktur) ger cosinussatsen en andragradsekvation som i regel har två lösningar, se exemplet nedan.

Samma exempel som ovan, nu med cosinussatsen

13 Ex Cosinussatsen 1 400.jpg

13 Ex Cosinussatsen 2 400.jpg
    













Varför två lösningar?
Varför två lösningar

Cosinussatsen ger samma två lösningar som sinussatsen, se ovan.


Klippans höjd

14 4 Uppg 4269 Femhorn 4270 Klippa-2 400.jpg









Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte4.mathonline.se/index.php?title=1.15_Tillämpningar_och_problemlösning&oldid=10893"