Repetition Trigonometri

Innehållsförteckning

Kursens presentation

Formelsamling Trigonometri

Trigonometri i rätvinkliga trianglar $\qquad\;\;$ Övningar:   Boken, sid 208

Tangens för $\, v \, < \, 90^\circ$

Flera exempel på tangens Flera exempel på tangens Exempel på tangens   Hämtar... Visa mindreVisa mindre | Visa merVisa mer | Dölj alltDölj allt | Visa alltVisa allt

Sinus och Cosinus för $\, v \, < \, 90^\circ$

Godtyckliga trianglar $\qquad\qquad\;\;$ Övningar:   Boken, sid 215

Enhetscirkeln

Cirkel $\, = \,$ Mängden av alla punkter som har samma avstånd (radien $\, r \,$) från en punkt (medelpunkten $\, M \,$).

Cirkelns ekvation:

Enhetscirkeln är cirkeln med radien $\, r \, = \, 1 \,$ och medelpunkten $\, M \, = \, O \,$ (origo).

Om en punkt $\, P\,(x, y) \,$ snurrar på enhetscirkeln och $\, v \,$ är vinkeln mellan $\, x$-axeln och $\, \overline{OP}$, så gäller:

$\qquad\qquad\quad$

$\begin{array}{rcl} x & = & \cos v \\ y & = & \sin v \end{array}$

I cirklar med radien $\, r \, > \, 1 \,$ förblir vinkeln $\, v \,$ den samma och därmed $\, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \,$ och $\, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y$, precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar $\, v \, \geq \, 90^\circ \,$.

Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet: $\quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ$

Exempel:

$$\sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2}$$

$$\cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2}$$

Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln $\, v \,$ har samma $\, y$-koordinat ($=\sin v$) som punkten till vinkeln $\, 180-v$.

Punkten till vinkeln $\, v \,$ har samma $\, x$-koordinat ($=\cos v$) som punkten till vinkeln $\, 180-v \,$ med omvänt tecken.

Ekvationer           med    Sin & Cos:

Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar

En gång till      Sin & Cos   för $v \geq 90^\circ$    i trianglar:

En sinusekvation har i intervallet $\, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \,$ alltid två lösningar.

En cosinusekvation har i intervallet $\, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \,$ endast en lösning.

Copyright © 2021 TechPages AB. All Rights Reserved.