Visa källkod för 4.18 Vietas formler

__NOTOC__
IND_VAL: v14 II, tor kl 14.40-15.50, sal 2. [[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|<b><span style="color:blue">Övningar 4458-4461</span></b>]].


{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[4.17 Polynomekvationer av högre grad| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.18 Vietas formler|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Ovn.pdf|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_18_Vieta_Facit.pdf|Facit]]}}
{{Not selected tab|[[Diagnos 4|Diagnosprov kap 4]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


== <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
<big>
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
</big>

<table>
<tr> <td><div class="ovnA">
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
<table>
<tr>
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1   +   x_2 & = -p   \\
                         x_1 \cdot x_2 & = q
           \end{align}} </math></td>
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
<td><math> \begin{align} 2   +   3 & = 5 = -p   \\
                         2 \cdot 3 & = 6  = q
           \end{align} </math></td>
<td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
<td><math> \begin{align} p & = -5   \\
                         q & = 6 
           \end{align} </math></td>
</tr>
</table>

Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span> 

::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
</div></td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>

:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
                                    x_1     & = & 3                          \\
                                    x_2     & = & 2                          
            \end{array}</math></big></td>
</tr>
</table>

<big> 
Uppgiften ovan är en tillämpning av ett generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.

Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] såg redan på <math>1500</math>-talet sambandet. Därför kallas formlerna efter honom.

== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==

<div class="border-divblue">
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-

garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1   +   x_2 & = -p   \\
                         x_1 \cdot x_2 & = q
           \end{align}} </math>
</div>


<big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>

2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt pq-formeln lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>

<math> \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p</math>


Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi<span style="color:black">:</span>

<math> \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q </math>


Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt konjugatregeln <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.

Detta bevisar Vietas andra formel.

----
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och kan formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
----
</big>


== <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> ==

<big>
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[4.18 Vietas formler#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
</big>


== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
<!-- <div class="exempel">¨-->
<div class="ovnE">
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-7) = 7   \\
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
        \end{align}</math>

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.

Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>

:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>

:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>

:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
</div>


== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
<!-- <div class="exempel">¨-->
<div class="ovnC">
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-8) = 8   \\
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
        \end{align}</math>

Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>. 

Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>

:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>

Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[1.2_Faktorisering_av_polynom#Dubbelrot|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. 
</div>


<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
<big>
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter

att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln.

Ett exempel är: 

:::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>

Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-13) = 13   \\
                        x_1 \cdot x_2 & = 2
        \end{align}</math>

Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. 

Med p-q formeln får man (se lösningen till [[1.3_Lösning_10b|övning 10 b)]])<span style="color:black">:</span>

:::<math>\begin{align}             x_1     & = 12,84428877                 \\
                                   x_2     & =  0,15571123                 \\
         \end{align}</math>

I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} 12,84428877  +    0,15571123 & = 13   \\
                        12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2
          \end{align}</math>
</big></div>









[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.