Visa källkod för 4.3 Konjugatet

__TOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[4.1_Olika_typer_av_tal#Varf.C3.B6r_r.C3.A4cker_de_reella_talen_inte_till.3F|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
{{Not selected tab|[[4.3_Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


= <b><span style="color:#931136">Konjugatets definition</span></b> =
<div class="ovnE">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_1.jpg]]
</div>
</div>


= <b><span style="color:#931136">Konjugatets egenskaper</span></b> =
<div class="ovnC">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_2.jpg]]
</div>
</div>


== <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
<big>
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.

==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
Ställ upp en andragradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
</big>

<table>
<tr> <td><div class="ovnA">
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
<table>
<tr>
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1   +   x_2 & = -p   \\
                         x_1 \cdot x_2 & = q
           \end{align}} </math></td>
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
<td><math> \begin{align} 2   +   3 & = 5 = -p   \\
                         2 \cdot 3 & = 6  = q
           \end{align} </math></td>
<td><math> \quad {\rm dvs:} \quad </math></td>
<td><math> \begin{align} p & = -5   \\
                         q & = 6 
           \end{align} </math></td>
</tr>
</table>

Därmed blir andragradsekvationen<span style="color:black">:</span> 

::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
</div></td>
<td><math> \qquad </math></td>
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>

:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
                                    x_1     & = & 3                          \\
                                    x_2     & = & 2                          
            \end{array}</math></big></td>
</tr>
</table>

<big> 
== <small><b><span style="color:#931136">pq-formeln:</span></b></small> ==
::Andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span> 

<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>

== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==

<div class="border-divblue">
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-

garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1   +   x_2 & = -p   \\
                         x_1 \cdot x_2 & = q
           \end{align}} </math>
</div>
</big>


== <b><span style="color:#931136">Lösning av andragradsekvationer med Vieta <math> - </math> utan pq-formeln</span></b> ==

<big>
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. 
</big>


<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==

<big>
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
</big>

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====

<big>
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-7) = 7   \\
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
        \end{align}</math>

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.

Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>

:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>

:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>

:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
</big></div>


<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
<big>
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
</big>

==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====

<big>
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>

:::<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-8) = 8   \\
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
        \end{align}</math>

Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>. 

Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>

:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>

Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]]. 
</big></div>


{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[4.3 Konjugatet|<<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
{{Selected tab|[[4.3 Konjugatet#4.4_.C2.A0_Att_r.C3.A4kna_med_komplexa_tal|Genomgång]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Ovn.pdf|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[Media: 4_2_Komplexa tal2_Facit.pdf|Facit]]}}
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Planering|Planering]]}} -->
{{Not selected tab|[[4.5 Absolutbelopp|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


= <b><span style="color:#931136">4.4 &nbsp; Att räkna med komplexa tal</span></b> =
<div class="ovnA">
<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_3.jpg]]</div>


<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 0px;"> [[Image: 4_2_Komplexa_tal_4.jpg]]</div>
</div>


<br>









[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2022 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.