Visa källkod för Repetition Trigonometri

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
<!-- {{Not selected tab|[[Matte 4 Innehållsförteckning|Innehållsförteckning]]}} -->
{{Selected tab|[[Repetition Trigonometri|Genomgång rätvinkliga]]}}
{{Not selected tab|[[Övningar till Repetition Trigonometri|Övningar Repetition]]}}
<!-- {{Not selected tab|[[Formelsamling Matte 4 Trigonometri|Formelsamling Trigonometri]]}} -->
{{Selected tab|[[Repetition_Trigonometri#1.2_Trigonometri_i_godtyckliga_trianglar|Genomgång godtyckliga]]}}
{{Not selected tab|[[1.3 Trigonometriska identiteter|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<big>
== <b><span style="color:#931136"><i>Trigon</i> = Triangel på latin. &nbsp; &nbsp; <i>Trigonometri</i> = Att mäta trianglar.</span></b> ==

<br>

== <b><span style="color:#931136">1.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar</span></b> ==
<big><b><span style="color:#931136">Tangens för <math> \, v \, < \, 90^\circ </math></span></b></big>
<table>
<tr>
  <td>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 1 Tangens_55.jpg]] </div>


<big><b><span style="color:#931136">Sinus och Cosinus för <math> \, v \, < \, 90^\circ </math></span></b></big>

<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 5 SinusCosinus_55.jpg]] </div>

</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 20px;"> [[Image: 2 Tangensproblemet_55.jpg]] </div>


&nbsp;&nbsp;<div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 12px;"> [[Image: 3 OmvantProblem_55.jpg]] </div>



























</td>
</tr>
</table>


== <b><span style="color:#931136">1.2 Trigonometri i godtyckliga trianglar</span></b> ==
<big><b><span style="color:#931136">Enhetscirkeln</span></b></big>

''Enhetscirkeln'' är cirkeln med radien <math> \, r \, = \, 1 \, </math> och medelpunkten <math> \, M \, = \, O \, </math> (origo).

Om en punkt <math> \, P\,(x, y) \, </math> snurrar på enhetscirkeln och <math> \, v \, </math> är vinkeln mellan <math> \, x</math>-axeln och <math> \, \overline{OP} </math>, så gäller<span style="color:black">:</span>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:0px solid black;display:inline-table;margin-left: 25px;"> [[Image: 7_Enhetscirkeln.jpg]] </div>
</td>
  <td><math> \qquad\qquad\quad </math>
</td>
  <td><div class="border-divblue">
<math>\begin{array}{rcl}  x & = & \cos v  \\
                          y & = & \sin v
      \end{array}</math></div>







</td>
</tr>
</table>
I cirklar med radien <math> \, r \, > \, 1 \, </math> förblir vinkeln <math> \, v \, </math> den samma och därmed <math> \, \cos v = \displaystyle \frac{r \cdot \; x}{r} = x \, </math> och <math> \, \sin v = \displaystyle \frac{r \cdot \; y}{r} = y </math>, precis som ovan.

Detta används för att definiera de trigonometriska funktionerna i godtyckliga trianglar, dvs för vinklar <math> \, v \, \geq \, 90^\circ \, </math>.

<br>
<big><b><span style="color:#931136">Sinus och Cosinus för vinklar i intervallet<span style="color:#931136">:</span> <math> \quad 90^\circ \, \leq \, v \, \leq \, 180^\circ </math> </span></b></big>

Exempel<span style="color:black">:</span>
:::<math> \sin 150^\circ \, = \, \sin (180^\circ - 30^\circ) \, = \, \sin 30^\circ \, = \, \frac{1}{2} </math>
:::<math> \cos 120^\circ \, = \, \cos (180^\circ - 60^\circ) \, = \, -\cos 60^\circ \, = \, -\frac{1}{2} </math>
Förklaring med enhetscirkeln:

Punkten till vinkeln <math> \, v \, </math> har samma <math> \, y</math>-koordinat (<math>=\sin v</math>) som punkten till vinkeln <math> \, 180-v </math>.

Punkten till vinkeln <math> \, v \, </math> har samma <math> \, x</math>-koordinat (<math>=\cos v</math>) som punkten till vinkeln <math> \, 180-v \, </math> med omvänt tecken.
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 8 Godtyckliga trianglar_400.jpg]] </div>
</td>
  <td><big><b> &nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Ekvationer</span>&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">med</span>

&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Sin & Cos:</span></b></big>





























</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 9 Ex Godtyckliga vinklar_400.jpg]] </div>
</td>
</tr>
</table>


<big><b><span style="color:#931136">Sinus, Cosinus och Tangens för alla vinklar</span></b></big>
<table>
<tr>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 10 Alla vinklar_400.jpg]] </div>




</td>
  <td><big><b> &nbsp; <span style="color:#931136">En gång till</span>&nbsp;&nbsp; 

&nbsp;&nbsp; <span style="color:#931136">Sin & Cos</span>

&nbsp;&nbsp;<span style="color:#931136">för <math> v \geq 90^\circ </math></span>

&nbsp;&nbsp;&nbsp;<span style="color:#931136">i trianglar:</span></b></big>



























</td>
  <td><div style="border:1px solid black;display:inline-table;margin-left: 10px;"> [[Image: 10a En gang till Sin Cos 400.jpg]] </div>


</td>
</tr>
</table>
<big><big><b><span style="color:#931136">Slutsatser</span></b></big></big>

<div class="border-divblue">En <b><span style="color:red">sinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> alltid <b><span style="color:red">två</span></b> lösningar.<br><br>
En <b><span style="color:red">cosinus</span></b>ekvation har i intervallet <math> \, 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \, </math> <b><span style="color:red">endast en</span></b> lösning.</div>
</big>


















[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2021 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.