4.3 Konjugatet - Versionshistorik

Taifun den 17 februari 2026 kl. 13.52

2026-02-17T13:52:06Z

Taifun den 10 november 2025 kl. 11.42

2025-11-10T11:42:17Z

Taifun den 24 oktober 2025 kl. 07.04

2025-10-24T07:04:08Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.23

2025-04-26T12:23:15Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.21

2025-04-26T12:21:09Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.20

2025-04-26T12:20:05Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.18

2025-04-26T12:18:34Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.17

2025-04-26T12:17:18Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.15

2025-04-26T12:15:46Z

Taifun den 26 april 2025 kl. 12.14

2025-04-26T12:14:02Z

@@ Rad 26: / Rad 26: @@
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
@@ Rad 38: / Rad 39: @@
 [[4.1_Olika_typer_av_tal#Repetition:_.C2.A0_Olika_typer_av_tal|Olika typer av tal]]
 <div class="ovnA">

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-__TOC__
+__NOTOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-__NOTOC__
+__TOC__
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;

← Äldre version		Versionen från 26 april 2025 kl. 12.23
Rad 25:		Rad 25:
	</div>		</div>

−	~~OBS! Ska behandlas i 4.18~~
−
−	~~== <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==~~
−	~~<big>~~
−	Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
−
−	~~==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====~~
−	~~Ställ upp en andragradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.~~
−
−	~~==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====~~
−	~~För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller~~
−	~~</big>~~
−
−	~~<table>~~
−	~~<tr> <td><div class="ovnA">~~
−	~~<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>~~
−	~~<table>~~
−	~~<tr>~~
−	~~<td><math> \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\~~
−	~~x_1 \cdot x_2 & = q~~
−	~~\end{align}} </math></td>~~
−	~~<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>~~
−	~~<td><math> \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\~~
−	~~2 \cdot 3 & = 6 = q~~
−	~~\end{align} </math></td>~~
−	~~<td><math> \quad {\rm dvs:} \quad </math></td>~~
−	~~<td><math> \begin{align} p & = -5 \\~~
−	~~q & = 6~~
−	~~\end{align} </math></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~</table>~~
−
−	~~Därmed blir andragradsekvationen<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>~~
−	~~</div></td>~~
−	~~<td><math> \qquad </math></td>~~
−	~~<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\~~
−	~~x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\~~
−	~~x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\~~
−	~~x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\~~
−	~~x_1 & = & 3 \\~~
−	~~x_2 & = & 2~~
−	~~\end{array}</math></big></td>~~
−	~~</tr>~~
−	~~</table>~~
−
−	~~<big>~~
−	~~== <small><b><span style="color:#931136">pq-formeln:</span></b></small> ==~~
−	~~::Andragradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>~~
−
−	~~== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==~~
−
−	~~<div class="border-divblue">~~
−	~~Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-~~
−
−	~~garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\~~
−	~~x_1 \cdot x_2 & = q~~
−	~~\end{align}} </math>~~
−	~~</div>~~
−	~~</big>~~
−
−
−	~~== <b><span style="color:#931136">Lösning av andragradsekvationer med Vieta <math> - </math> utan pq-formeln</span></b> ==~~
−
−	~~<big>~~
−	Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
−	~~</big>~~
−
−
−	~~<div class="exempel">~~
−	~~== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==~~
−
−	~~<big>~~
−	~~Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>~~
−	~~</big>~~
−
−	~~==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====~~
−
−	~~<big>~~
−	~~För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\~~
−	~~x_1 \cdot x_2 & = 10~~
−	~~\end{align}</math>~~
−
−	~~Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.~~
−
−	~~Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math> eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.~~
−
−	~~Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>~~
−
−	~~:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>~~
−
−	~~Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>~~
−
−	~~Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.~~
−	~~</big></div>~~
−
−
−	~~<div class="exempel">~~
−	~~== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==~~
−	~~<big>~~
−	~~Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>~~
−	~~</big>~~
−
−	~~==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====~~
−
−	~~<big>~~
−	~~Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math> \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\~~
−	~~x_1 \cdot x_2 & = 16~~
−	~~\end{align}</math>~~
−
−	~~Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.~~
−
−	~~Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>~~
−
−	~~:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>~~
−
−	Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.\|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
−	~~</big></div>~~
−
−	~~OBS! Ska behandlas i 4.18~~

	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"

@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 </div>
-<!-- OBS! Ska behandlas i 4.18
+OBS! Ska behandlas i 4.18
 == <b><span style="color:#931136">Vieta: Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
@@ Rad 157: / Rad 157: @@
 </big></div>
-OBS! Ska behandlas i 4.18 -->
+OBS! Ska behandlas i 4.18
 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"

@@ Rad 24: / Rad 24: @@
 </div>
 </div>
-<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
 <!-- OBS! Ska behandlas i 4.18